Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

h.vuong_pdl · 16-07-2010, 02:03 PM

Nếu là a+b+c+abc=4 hay ab+bc+ca+abc=4 thì ta đều có thể giải đc bằng những cách sơ cấp:
+) Nếu giả thiết là $ab+bc+ca+abc=4 $ thì chú ý đẳng thức sau:
$\frac{1}{a+2} + \frac{1}{b+2} + \frac{1}{c+2}=1 $
Đẳng thức này tương đương vs giả thiết đã cho!
Hay có thể viết lại là
$\frac{a}{a+2} + \frac{b}{b+2} + \frac{c}{c+2}=1
=> 1 = \sum{\frac{a^2}{a^2+2a}} \ge \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(a+b+c)} $ (áp dụng BDT Cauchy-Schwarz)
Vậy $a+b+c \ge ab+bc+ca $ sau khi quy đòng BDt trên

+) Nếu $a+b+c+abc=4 $ thì ta cũng có một lời giải sơ cấp bằng BDT schur như sau, Mình xin vắn tắt:
ta có $p+r=4 $. Cần CM $p \ge q $ hay $4p^2 \ge 4pq $
Áp dụng BDT Schur thì $p^3+9r \ge 4pq $
Như vậy ta cần Cm $p^3+9r \le 4p^2 $ thay $r = 4-p $ thì cần Cm:
$p^3-4p^2-9p+36 \le 0 $
$<=> (p-3)(p+3)(p+4) \le 0 $
BDT này đúng vì dẽ dàng Cmd $p \ge 3 $ và $p \le 4 $ thì hiển nhiên vì $p+r = 4 $
Vậy ta ccos ngay đpcm!!!

16-07-2010, 02:03 PM	#6
h.vuong_pdl +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jul 2010 Bài gởi: 56 Thanks: 18 Thanked 32 Times in 20 Posts	Nếu là a+b+c+abc=4 hay ab+bc+ca+abc=4 thì ta đều có thể giải đc bằng những cách sơ cấp: +) Nếu giả thiết là $ab+bc+ca+abc=4 $ thì chú ý đẳng thức sau: $\frac{1}{a+2} + \frac{1}{b+2} + \frac{1}{c+2}=1 $ Đẳng thức này tương đương vs giả thiết đã cho! Hay có thể viết lại là $\frac{a}{a+2} + \frac{b}{b+2} + \frac{c}{c+2}=1 => 1 = \sum{\frac{a^2}{a^2+2a}} \ge \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+2(a+b+c)} $ (áp dụng BDT Cauchy-Schwarz) Vậy $a+b+c \ge ab+bc+ca $ sau khi quy đòng BDt trên +) Nếu $a+b+c+abc=4 $ thì ta cũng có một lời giải sơ cấp bằng BDT schur như sau, Mình xin vắn tắt: ta có $p+r=4 $. Cần CM $p \ge q $ hay $4p^2 \ge 4pq $ Áp dụng BDT Schur thì $p^3+9r \ge 4pq $ Như vậy ta cần Cm $p^3+9r \le 4p^2 $ thay $r = 4-p $ thì cần Cm: $p^3-4p^2-9p+36 \le 0 $ $<=> (p-3)(p+3)(p+4) \le 0 $ BDT này đúng vì dẽ dàng Cmd $p \ge 3 $ và $p \le 4 $ thì hiển nhiên vì $p+r = 4 $ Vậy ta ccos ngay đpcm!!!