Trích:
Nguyên văn bởi einstein1996  Cho $\mathbb{K}$ là một trường và $n$ là một số nguyên dương không chia hết cho $p=char(\mathbb{K})$. Khi đó các nghiệm của đa thức $x^n-1\in\mathbb{K}[x]$ trong một bao đóng đại số của $\mathbb{K}$ được gọi là các căn bậc $n$ của đơn vị. Phần tử $\omega$ được gọi là một căn nguyên thủy bậc $n$ của đơn vị nếu $\omega$ là một căn bậc $n$ của đơn vị, đồng thời nhóm nhân cyclic sinh bởi $\omega$ trùng với nhóm nhân các căn bậc $n$ của đơn vị. Chứng minh rằng luôn tồn tại căn nguyên thủy bậc $n$ của đơn vị. |
Thực chất là chứng minh tập nghiệm của $x^n-1$ là cyclic. Kết quả này ai học lý thuyết Galois đều biết. Thực ra mọi nhóm con hữu hạn của một trường là một nhóm cyclic. Mình xin tập hợp lại vài cách chứng minh.
1. Giả sử nhóm G là abel hữu hạn. là một nhóm abel hữu hạn nên theo định lý cơ bản của nhóm abel hữu hạn sinh
$$S \cong \prod \mathbb{Z}/a_n$$
với $a_j|a_{j+1}$. Có $a_1$ phần tử trong mỗi nhóm $\mathbb{Z}/a_i$ thỏa mãn $x^{a_1}=1$. Giả sử $G \leq K^{\times}$. Do K là một trường nên chỉ có tối đa $a_1$ phần tử là nghiệm của phương trình. Vậy chỉ có 1 nhóm cyclic và G là cyclic.
2. Giả sử G là một nhóm hữu hạn cấp n. Nếu với mỗi d|n, tồn tại tối đa d phần tử của G thỏa mãn $x^d=1$ thì G là cyclic.
Chứng minh. Nếu có phần tử x có cấp d|n thì <x> có d phần tử, nên theo giả thiết nó chứa tất cả các phần tử thỏa mãn $x^d=1$. Suy ra số phần tử cấp d là $\phi(d)$. Như vậy số phần tử cấp d bằng 0 hoặc bằng $\phi(d)$. Suy ra $n=\sum_{d|n} |{x|ord(x)=d} \leq \sum_{d|n} \phi(d)=n$ và các dấu bằng xảy ra dẫn đến $|{x|ord(x)=d}|=\phi(d)$. Nói riêng có phần tử cấp n. Vậy G là cyclic
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]