Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Một số kiến thức về hình trong các cuộc thi Olympic Toán !

**ma 29** · 12-11-2008, 02:23 PM

I.56)Định lí Pithot

Định lí: Tứ giác lồi ABCD là tứ giác ngoại tiếp khi và chỉ khi :AB+CD =BC+DA

Chứng minh:

+)Chiều thuận: ABCD là tứ giác ngoại tiếp thì: AB+CD=BC+DA

Phần này chứng minh hoàn toàn đơn giản xin dành cho bạn đọc.

+)Chiều đảo:Nếu tứ giác lồi ABCD thỏa mãn : AB+CD=BC+DA (*)thì nó là tứ giác ngoại tiếp.

Không giảm tổng quát giả sử :$AB\leq AD $ ,khi ấy từ (*) cũng suy ra:$BC \leq CD $.
Khi ấy trên AD,DC tương ứng tồn tại hai điểm N,M sao cho:AN=AB,CM=CB.
Từ (*) sẽ có: DN=DM.

Do đó các đường phân giác của các góc tại đỉnh A,D,C sẽ là ba đường trung trực của tam giác BMN nên chúng đồng quy tại một điểm (mà ta kí hiệu là O).
Nhận thấy O cách đều 4 cạnh tứ giác nên ta có điều cần chứng minh.

12-11-2008, 02:23 PM	#66
ma 29 +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: ĐH Kinh tế Quốc dân Bài gởi: 888 Thanks: 113 Thanked 968 Times in 210 Posts	I.56)Định lí Pithot Định lí: Tứ giác lồi ABCD là tứ giác ngoại tiếp khi và chỉ khi :AB+CD =BC+DA Chứng minh: +)Chiều thuận: ABCD là tứ giác ngoại tiếp thì: AB+CD=BC+DA Phần này chứng minh hoàn toàn đơn giản xin dành cho bạn đọc. +)Chiều đảo:Nếu tứ giác lồi ABCD thỏa mãn : AB+CD=BC+DA ()thì nó là tứ giác ngoại tiếp. Không giảm tổng quát giả sử :$AB\leq AD $ ,khi ấy từ () cũng suy ra:$BC \leq CD $. Khi ấy trên AD,DC tương ứng tồn tại hai điểm N,M sao cho:AN=AB,CM=CB. Từ () sẽ có: DN=DM. Do đó các đường phân giác của các góc tại đỉnh A,D,C sẽ là ba đường trung trực của tam giác BMN nên chúng đồng quy tại một điểm (mà ta kí hiệu là O). Nhận thấy O cách đều 4 cạnh tứ giác nên ta có điều cần chứng minh. __________________ Sáng trưa chiều lo lắng* biết bao điều, biết vâng lời và lắng nghe em nhiều, thế mới là con ma được thương yêu.