Trích:
Nguyên văn bởi portgas_d_ace  Cho $E$ là không gian Banach và $T \in \mathcal{L}\left(E \right)$. Đặt
\[{a_n} = \ln \left\| {{T^n}} \right\|,n \geqslant 1\]
Chứng minh rằng tồn tại giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{a_n}}}{n}$ hơn nữa $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{a_n}}}{n} = \mathop {\inf }\limits_{m \geqslant 1} \frac{{{a_m}}}{m}$. |
Do $\|T^{n+m}\| \leq \|T^n\| \|T^m\|$ nên $a_{n+m} \leq a_n + a_m$ với mọi $n, m\geq 1$.
Với mỗi $n \geq 1$ và $m > n$, ta có thể viết $m = k_m n + r_m$ với $r_m = 1,2,\ldots,n-1$. Đặt $M_n = \max_{1\leq i \leq n-1} |a_i|$, ta có
$$\frac{a_m} m \leq \frac{k_m a_n + M_n}{k_m n + r_m}.$$
Cho $m$ ra vô cùng, khi đó $k_m \to \infty$, ta được
\[
\limsup_{m\to \infty} \frac{a_m}{m} \leq \frac{a_n}{n}
\]
với mọi $n$. Cho $n$ ra vô cùng, ta được
\[
\limsup_{m\to \infty} \frac{a_m}{m} \leq \liminf_{n\to \infty}\frac{a_n}{n}.
\]
Từ đây suy ra tồn tại $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}n$.
Đặt $q = \inf_n \frac{a_n} n$. Với mọi $\epsilon >0$, tồn tại $n_0$ sao cho
\[
q \leq \frac{a_{n_0}}{n_0} < q + \epsilon.
\]
Do đó
\[
q \leq \frac{a_{kn_0}}{k n_0} \leq \frac{a_{n_0}}{n_0} < q + \epsilon,
\]
với mọi $k\geq 1$. Cho $k$ ra vô cùng ta được
\[
q \leq \lim_{n\to \infty} \frac{a_n}n = \lim_{k\to \infty} \frac{a_{kn_0}}{k n_0} \leq q + \epsilon,
\]
với mọi $\epsilon >0$. Do đó $\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}n = q =\inf_n \frac{a_n} n$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]