Trích:
Nguyên văn bởi Nguyen Van Linh  Kì thi chọn đội tuyển Việt Nam tham dự kì thi toán quốc tế IMO 2016 diễn ra vào hai ngày 24-25/3/2016 tại trường THPT chuyên Hà Nội-Amsterdam.
Mình lập ra topic này mong tập hợp được đề đầy đủ 2 ngày.
Ngày 1.
Bài 2. $A$ là tập $2000$ số nguyên phân biệt và $B$ là tập $2016$ số nguyên phân biệt. $K $ là số cặp $(m,n)$ có thứ tự với $m$ thuộc $A$ và $n$ thuộc $B$ mà $|m-n|\leq 1000$. Tìm max $K$? |
Có lẽ đáp án bài này là: 3016944.
Lời giải vắn tắc như sau: Trước hết ta có hai bổ đề sau
Bổ đề 1: Cho $k$ là số nguyên dương thỏa $k\leq 2000-17$ và $a,b$ là hai số nguyên thỏa $|a-b|\geq 2000-k$. Khi đó tổng của số các số nguyên $m\in B$ thỏa $|a-m|\leq 1000$ và số các số $m\in B$ thỏa $|b-m|\leq 1000$ không vượt quá $2017+k$.
Bổ đề 2: Cho $k$ là số nguyên dương sao cho $k\leq 16$ và $a,b$ là hai số nguyên thỏa $|a-b|\geq k$. Khi đó tổng của số các số nguyên $m\in B$ thỏa $|a-m|\leq 1000$ và số các số $m\in B$ thỏa $|b-m|\leq 1000$ không vượt quá $4002$.
Đặt $S(a)$ là số các số nguyên $m\in B$ thỏa $|a-m|\leq 1000$.
Trở lại bài toán, gọi $a_1<a_2<...<a_{2000}$ là các phần tử của $A$. Khi đó
- $|a_1-a_{2000}|\geq 1999=2000-1$ nên theo bổ đề 1 ta có $S(a_1)+S(a_{2000})\leq 2017+1=2018$.
- $|a_2-a_{1999}|\geq 1997=2000-3$ nên theo bổ đề 1 ta có $S(a_2)+S(a_{1999})\leq 2017+3=2020$
- $|a_3-a_{1998}|\geq 1995=2000-5$ nên theo bổ đề 1 ta có $S(a_3)+S(a_{1998})\leq 2017+5=2022$
- ............
- $|a_{992}-a_{1009}|\geq 17=2000-1983$ nên theo bổ đề 1 ta có $S(a_{992})+S(a_{1009})\leq 2017+1983=4000$,
- $|a_{993}-a_{1008}|\geq 15$ nên theo bổ đề 2 ta có $S(a_{993})+S(a_{1008})\leq 4002$.
- $|a_{994}-a_{1007}|\geq 13$ nên theo bổ đề 2 ta có $S(a_{994})+S(a_{1007})\leq 4002$.
- ..........
- $|a_{1000}-a_{1001}|\geq 1$ nên theo bổ đề 2 ta có $S(a_{1000})+S(a_{1001})\leq 4002$.
Từ đây suy ra $K= S(a_1)+S(a_2)+...+S(a_{2000})\leq (2018+2020+2022+...+4000)+8\times 4002=3016944$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]