Xem bài viết đơn
Old 26-03-2014, 04:22 AM   #12
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Mình thử phân tích thêm lời giải cho bài 2 như sau:

Trong bài toán đã cho, ta thấy hoành độ và tung độ hoàn toàn độc lập với nhau nên để dễ hình dung, có thể xét riêng thành phần hoành độ.

Trước hết, ta viết các số từ $-20$ đến $20$ (bỏ số $0$ ra) thành các dãy mà liền sau số $x$ là số $2x$ theo $\mod 41$. Khi đó, ta được 2 dãy như bên dưới: $$A: 1,2,4,8,16,-9,-18,5,10,20,-1,-2,-4,-8,-16,9,18,-5,-10,-20,1$$ $$B: 3,6,12,-17,7,14,-13,15,-11,19,-3,-6,-12,17,-7,-14,13,-15,11,-19,3$$ Tô màu các số của dãy này sao cho trong 2 số đối nhau thì có đúng 1 số được tô màu. Ta quan tâm đến số lượng các cặp số liên tiếp cùng được tô màu trong dãy.

Do có sự lặp lại ở cả 2 dãy nên để dễ hình dung, ta chuyển thành vòng tròn và phát biểu lại bài toán như sau:

Cho 20 điểm chia đều một đường tròn sao cho trong 2 điểm đối xứng qua tâm thì có đúng 1 đỉnh được tô màu. Tính số các cặp đỉnh liên tiếp được tô màu có thể có.

Xét các trường hợp số đỉnh chẵn nhỏ hơn:
- Đa giác 4 đỉnh: 1 cặp.
- Đa giác 6 đỉnh: 0-2 cặp.
- Đa giác 8 đỉnh: 1-3 cặp.
- Đa giác 10 đỉnh: 0-2-4 cặp.
...
Như thế, dự đoán tổng quát là:
Với $n$ là số chẵn, gọi $S_{n}$ là tập hợp số các cặp kề nhau cùng được tô màu có thể có của đa giác có $n$ đỉnh thì:
$S_{4n} = \{ 2k+1 | 0 \le k \le n-1 \} $ và $S_{4n-2} = \{ 2k | 0 \le k \le n-1 \} $.

Điều này có thể chứng minh bằng quy nạp như sau:
- Với $n=2$ thì nhận xét đúng.
- Giả sử đúng đến $n.$
Xét đa giác có $4n+2$ đỉnh. Đa giác này có thể tạo thành bằng cách thêm đỉnh $A$ vào giữa hai đỉnh thứ 2n, 2n+1 và thêm đỉnh $B$ vào giữa hai đỉnh thứ 4n, 1. Ta xét các trường hợp:
- Nếu đỉnh $2n$ và $2n+1$ đều được tô và $A$ không được tô thì tương ứng: đỉnh $4n, 1$ không được tô và $B$ được tô. Số cặp kề nhau cùng được tô giảm đi 1.
- Nếu đỉnh $2n$ và $2n+1$ đều được tô và $A$ cũng được tô thì tương ứng: đỉnh $4n, 1$ không được tô và $B$ không được tô. Số cặp kề nhau tăng lên 1.
- Nếu trong hai đỉnh $2n$ và $2n+1,$ có 1 đỉnh được tô và $A$ cũng được tô thì tương ứng: trong hai đỉnh 4n, 1 có 1 đỉnh được tô và $B$ không được tô. Số cặp kề nhau tăng lên 1.
- Nếu trong hai đỉnh $2n$ và $2n+1,$ có 1 đỉnh được tô và $A$ không được tô thì tương ứng: trong hai đỉnh 4n, 1 có 1 đỉnh được tô và $B$ được tô. Số cặp kề nhau tăng lên 1.

Do đó, $S_{4n+2} = \{ x \pm 1 | x \in S_{4n} \} $ hay $S_{4n+2}=\{ 2k | 0 \le k \le n \}$.
Tương tự, ta cũng có $S_{4n+4} = \{ x \pm 1 | x \in S_{4n+2} \} $. Tất nhiên không xảy ra trường hợp $S_{4n+4}$ có chứa số $-1$ vì để có trường hợp 0 cặp số ở $4n+2$, các đỉnh phải được tô xen kẽ và trường hợp giảm đi số bộ không xảy ra, suy ra $S_{4n+4}=\{ 2k+1 | 0 \le k \le n \}.$
Nhận xét được chứng minh.

Từ đó suy ra $S_{20}=\{ 1, 3, 5, 7, 9 \}$.
Do đó, kết quả cho bài toán phụ sẽ là $2S_{20}$ với định nghĩa $2S=S+S=\{a+b|a,b \in S \}$.

Quay trở lại bài toán ban đầu, để chuyển từ 1 thành phần $x$ ở trên thành 2 thành phần $(x,y)$, ta có thể hình dung như sau:

Ứng với mỗi vòng tròn chứa các số thuộc dãy $A$, ta lấy một vòng tròn mới cũng gồm các số thuộc dãy $A$ đặt lên đó sao cho mỗi số thuộc đường tròn cũ khớp với một số thuộc đường tròn mới. Viết các cặp số khớp nhau thành một dãy, dãy đó chính là dãy các tọa độ điểm mà liền sau của $(x_1, y_1)$ là $(2x_1, 2y_1)$ theo $\mod 41$.

Dễ thấy có tất cả 20 cách ghép như thế (cố định vòng tròn cũ và xoay vòng tròn mới). Tương tự với việc ghép các dãy $A-B, B-A$ và $B-B$ nên có tổng cộng là 80 cách ghép tạo thành 80 dãy.

Tuy nhiên, ta cũng xét thêm 4 dãy đặc biệt, tương ứng với các điểm nằm trên trục tung và trục hoành.
Cụ thể là xét thêm dãy C gồm 20 số 0 và xét 4 cách ghép: $A-C, C-A, B-C, C-B.$

Do đó, tổng cộng có 84 dãy các tọa độ.

Theo chứng minh ở trên thì ở mỗi dãy, số các cặp có thể có là $S_{20}$ vậy nên đáp số của bài toán là $84S_{20}$, cũng chính là các số chẵn từ $84$ đến $9 \cdot 84$.

Bài toán đến đây là kết thúc.

Ta thử đặt vấn đề trong trường hợp thay 20 và 41 bởi các số khác.
Chẳng hạn nếu thay 41 bởi 11 thì thay vì có 84 dãy mà mỗi dãy độ dài 20, ta sẽ có đến 168 dãy mà mỗi dãy có độ dài là 10. Đáp số sẽ là $168S_{10}$.
Các số 41, 11 quyết định độ dài chu kỳ của các dãy ở trên. Tất nhiên, có những trường hợp dãy không lặp lại thì phải tính toán theo cách khác nhưng nói chung vẫn khả thi.

Theo nhận xét của mình thì bài toán này có phong cách của bài 4 VMO 2012, bài 3 VMO 2013, đều là các bài khá mới mẻ, là dạng tổ hợp đếm có kết hợp số học, tuy phát biểu hơi có phần gượng ép trong việc đặt vào trục tọa độ nhưng lại giúp học sinh dễ tưởng tượng hơn.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
__________________
Sự im lặng của bầy mèo

thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 26-03-2014 lúc 04:37 AM
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
thiendieu96 (26-03-2014), tuandaisu (26-03-2014)
 
[page compression: 14.24 k/15.42 k (7.64%)]