[tikita]

Nguyên văn bởi namdung

Xin chào các bạn, Sắp tới, vào khoảng cuối tháng 3, đầu tháng tư, kỳ thi chọn các đội tuyển quốc gia dự thi quốc tế các môn khoa học tự nhiên sẽ được tổ chức. Sẽ có 45 bạn học sinh có điểm số từ 27.5 trở lên sẽ tham dự kỳ thi chọn đội tuyển môn Toán. Nhóm bài đầu tiên lấy từ phần đại số của Short List IMO 2014. 2. Tìm tất cả các hàm số $f: Z -> Z$ thỏa mãn điều kiện $ f(f(m)+n) + f(m) = f(n) + f(3m) + 2014 $ với mọi $ m, n $ nguyên. (Hà Lan đề nghị)

Một cách tiếp cận bài này với ý tưởng tóm lượt như sau

1. Rỏ ràng $f$ không phải là hàm hằng và luôn tồn tại các số nguyên $a,b$ với $a>0$ sao cho $f(n+a)=f(n)+b,\forall n\in\mathbb{Z}$.
2. Gọi $a>0$ là số nguyên nhỏ nhất sao cho tồn tại số nguyên $b$ để $f(n+a)=f(n)+b,\forall n\in\mathbb{Z}$. Khi đó với mọi số nguyên $c,d$ thỏa $f(n+c)=f(n)+d,\forall n\in\mathbb{Z}$ thì $c$ và $f(n)$ cùng chia hết cho $a$.
3. Từ tính chất $(2)$ và khi thay $n,m$ ở phương trình bằng $an,am$ ta được $f(n+a)=f(n)+2a,\forall n\in\mathbb{Z}$, $f(0)=1007\vdots a$ và $f(an)=2an+1007,\forall n\in\mathbb{Z}$.
4. Do $f(m)\vdots a$ với mọi $m$ nên từ phương trình đầu và $(3)$ suy ra $f(3m)=3f(m)-2014,\forall m\in\mathbb{Z}$. Hay
   $$f(3^km)-1007=3^k(f(m)-1007),\forall m,k\in\mathbb{Z},k>0.$$
5. Do $a$ ước của $1007$ nên $(3,a)=1$ suy ra tồn tại $k\in\mathbb{N}^*$ sao cho $3^k-1\vdots a$. Từ $(3),(4)$ ta có
   $$3^k(f(m)-1007)=f(3^km)-1007=f(m+(3^k-1)m)-1007=f(m)+2(3^k-1)m-1007.$$
   Từ đây suy ra $f(m)=2m+1007,\forall m\in\mathbb{Z}$.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]