Ðề tài: Về hàm isomorphism
Xem bài viết đơn
Old 03-08-2019, 03:38 PM   #4
anysu
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2018
Bài gởi: 16
Thanks: 7
Thanked 1 Time in 1 Post
Ở đây ta cần thêm điều kiện $G$ hữu hạn
Xét $a\in G$, ta có:
$f(a^{-1}f(a))=f(a^{-1}).f(f(a))=f(a)^{-1}.a=(a^{-1}f(a))^{-1}$
Ta chứng minh $g:G\rightarrow G, a\rightarrow a^{-1}f(a)$ là một song ánh. Thật vậy đây là đơn ánh vì
$g(a)=g(b)\Leftrightarrow a^{-1}f(a)=b^{-1}f(b) \Leftrightarrow f(ab^{-1})=ab^{-1}\Leftrightarrow ab^{-1}=e\Leftrightarrow a=b$
Do đó $|Img|\ge |G|$ nên $|Img|=|G|$ nên $g$ là song ánh, dẫn tới $g$ là toàn ánh. Do đó $\forall x\in G, \exist a\in G: x=a^{-1}f(a)$ nên
$f(x)=f(a^{-1}f(a))=(a^{-1}f(a))^{-1}=x^{-1}$
Và $f(ab)=f(a).f(b)$ nên $ab=ba \forall a,b\in G$, G là nhóm abel
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
anysu is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following User Says Thank You to anysu For This Useful Post:
quangtu123 (25-07-2020)
 
[page compression: 7.61 k/8.61 k (11.64%)]