[conan1984]

$P(x) + 1 = (x-1)^3.g(x) $(1)
$P(x) - 1 = (x+1)^3.h(x) $(2)

-> $P(x) + P(-x) = (x+1)^3.(h(x) - g(x)) $
Do $P(x) $ là đa thức bậc 5 nên $P(x) + P(-x) $ có dạng $a.x^4 + b.x^2 + c $
Do đó $h(x) - g(x) $ có dạng $m.x+n $
Ta có : $a.x^4 + b.x^2 + c $ = $(x+1)^3.(h(x) - g(x)) = (x+1)^3.(m.x +n) = (x^3 + 3.x^2 + 3.x + 1)(m.x+n) = m.x^4 + (3m+n).x^3 + 3.x^2(m+n) + (3n+m).x + n $
Từ đó ta có : $m = a, m+n = b, n = c, 3m + n = 0, 3n + m = 0 $
Từ 2 phương trình cuối suy ra $n = m = 0 -> a = b = c = 0 -> P(x) + P(-x) = 0 $ với mọi x -> $h(x) - g(x) = 0 $ với mọi x -> $h(x) = g(x) $ với mọi x
Kết hợp với (1) và (2) suy ra : $h(x).(6.x^2 + 2) $= -2 với mọi x, điều này không thể xảy ra do $h(x) $ là đa thức. Vậy không tồn tại đa thức bậc 5 thỏa mãn đề bài (dpcm).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]