Trích:
Nguyên văn bởi Newton1996  Cho $m$ là một số nguyên dương, $\varphi (m)$ là số các số nguyên dương không vượt quá $m$ và nguyên tố cùng nhau với $m$. Chứng minh rằng nếu $m$ có tất cả các ước nguyên tố là $p_1,\,p_2,\,\ldots ,\,p_t$ thì\[\frac{{\varphi \left( m \right)}}{m} = \prod\limits_{1 \le i \le t} {\left( {1 - \frac{1}{{{p_i}}}} \right)} .\] |
Lấy ngẫu nhiên một số nguyên dương không vượt quá $m$, với $n$ là một số nguyên dương cho trước gọi $A_n$ là biến cố: số đã lấy ra nguyên tố cùng nhau với $n$. Khi đó với $i\ne j$ thì $A_{p_i}$ độc lập với $A_{p_j}$, nên\[\frac{{\varphi \left( m \right)}}{m} = P\left( {{A_m}} \right) = P\left( {\prod\limits_{1 \le i \le t} {{A_{{p_i}}}} } \right) = \prod\limits_{1 \le i \le t} {P\left( {{A_{{p_i}}}} \right) = \prod\limits_{1 \le i \le t} {\left( {1 - \frac{1}{{{p_i}}}} \right).} } \]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]