Trích:
Nguyên văn bởi brahman  |
Để tính tổng $\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{n^{2} }+.. $
Ơ Le đã qua con đường sin(x)=x để tính tổng này(sáng tạo toán học của polia nhà sư phạm thiên tài Hung Ga ri sau này làm việc ở Mỹ).Ơ Le đã không được đồng tình của các đồng nghiệp (kể cả gia đình Becnuni là thầy và bạn của ông),mặc dù sau một thời gian sau đó cách đi này mọi người đã công nhận chứng minh của ông là đúng.Sau mười năm ông có cách đi mới.
Ta biết $x=x_{k}=cos(\frac{2k\pi}{n})+isin(\frac{2k\pi}{n}) $ k=1..n.Gọi là căn đơn vị bậc n,nghĩa là $x^{n}=1 $.Xét $u=\frac{1+x}{x-1}=\frac{1+cost+isint}{cost+isint-1}=\frac{2cos^{2}(\frac{t}{2})+2isin(\frac{t}{2})c os(\frac{t}{2})}{-2sin^{2}(\frac{t}{2})+2isin(\frac{t}{2})cos(\frac{ t}{2})}=-icot(\frac{t}{2}) $
$u^{2}=-cot^{2}(\frac{t}{2}) $
Từ công thức của u ta giải được $x=\frac{u+1}{u-1} $,từ $x^{n}=1 $->$(\frac{u+1}{u-1})^{n}=1 $->
$(u-1)^{n}=(u+1)^{n} $->$C^{1}_{n}u^{n-1}+C^{3}_{n}u^{n-3}+...=0 $.Theo định lý viet
Ta có $\sum {u_{i}}=0 $ và $\sum{u_{i}u_{j}=\frac{C^{3}{n}}{C^{1}{n}} $->$\sum{(u_{i})^{2}}=(\sum {u_{i}})^{2}-2\sum{u_{i}u_{j}=-\frac{C^{3}{n}}{C^{1}{n}}=-\sum{cot^{2}(\frac{k\pi}{n})} $
Vậy là $\frac{(n-1)(n-2)}{6}=\sum{cot^{2}(\frac{k\pi}{n}) $
Áp dụng bdt $\frac{1}{x^{2}}\leq cot^{2}(x) \leq \frac{1}{sin^{2}(x)}=cot^{2}(x)+1 $
Ta có $\sum{cot^{2}(\frac{k\pi}{n})\leq \sum\frac{n^{2}}{\pi^{2}k^{2}}\leq (\sum{cot^{2}(\frac{k\pi}{n}))+n $
->$\frac{\pi^{2}(n-1)(n-2)}{6n^{2}}\leq\sum\frac{1}{k^{2}}\leq \frac{\pi^{2}(n+1)(n+2)}{6n^{2}} $
Khi cho n-> vô cùng ta có $\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{n^{2} }+..=\frac{\pi^{2}}{6} $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]