Trích:
Nguyên văn bởi Ngonkhtn  Mình tìm được một phản ví dụ cho m=2,n=1: $x^k-x+y^k-y=z^k-z$ luôn có nghiệm (1,1,1) với mọi k. Nhưng giờ nếu bạn lại đòi hỏi hệ số của đa thức dương... Mình nghĩ không phải cứ có bài toán, rồi tổng quát lên là có ích đâu. Mình xin chấm dứt việc reply bạn ở đây nên nếu có nói chuyện thì mình cũng sẽ không trả lời, nói trước để khỏi thất lễ vì mình thấy mình không được gì từ những trao đổi này. Cách trình bày của bạn có vấn đề đấy, trước giờ mình chưa thấy ai kí hiệu chỉ số chạy bằng bảng chữ cái tiếng anh cả. |
Mặc dù phản ví dụ của bạn là đúng nhưng tôi không bỏ cuộc. Bởi vì ý tưởng trong #4
nói rõ độ thưa (rời rạc) của đa thức khi bậc đa thức tăng lên là lý do chính dẫn đến mất nghiệm nguyên của phương trình đa thức, đây là ý tưởng chủ đạo cho giả thuyết mà các cách phát biểu chỉ là cố gắng thể hiện ý tưởng này, f(1) không phụ thuộc vào bậc của đa thức mà chỉ phụ thuộc vào hệ số của đa thức. Tôi xin tiếp thu ý kiến phản biện của bạn thay vì nghiệm nguyên dương, tôi cho bởi giả thuyết là nghiệm nguyên dương khác 1.
Giả thuyết(sửa đổi chút nhờ góp ý của Ngonkhtn): Cho $a$ là một số nguyên khác $0$, $m,n$ là hai số nguyên dương khác nhau, $g(x)$ là một đa thức bất kỳ cho trước khi đó tồn tại một hằng số nguyên dương $k_0$ để với mọi $k \geq k_0$ thì phương trình:
$$g(x_1)+a.x_1^k+g(x_2)+a.x_2^k+....+g(x_n)+a.x_n^ k=g(y_1)+a.y_1^k+....+g(y_m)+a.y_m^k$$
không có nghiệm nguyên dương khác một
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]