[CTK9]

Nguyên văn bởi kien10a1

Bài toán 10: Gọi $ f(x) $ là ước nguyên tố lớn nhất của $x $ với $x $ nguyên dương.
Chứng minh rằng tồn tại vô số n nguyên dương mà $f(n)<f(n+1)<f(n+2) $

Bài 10) không phải là một bài mới, ít nhất là nó đã xuất hiện trên ML, mình xin trích dẫn lại ý tưởng giải như sau: (do đề bài yêu cầu chứng minh tồn tại vô hạn kiểu này thì đương nhiên là ta sẽ xây dựng...)
Xét số nguyên tố $p>2 $ và đặt $n_k = p^{2^k} - 1 $, hiển nhiên $f(n_k + 1) = p $.
Ta xét dãy các số dạng $n_k + 2 $ ($k $ chạy từ 1).
Mặt khác ta có: với $i<j $ thì: $(p^{2^j} + 1) -2 = (p-1)(p+1)(p^2 +1)...(p^{2^i}+1)...(p^{2^{j-1}}+1) $, tức là: $i<j \iff n_i+2|(n_j+2)-2 $, do đó ước chung lớn nhất của các số dạng này là 2 (do tất cả đều chẵn) và tất cả đều không chia hết cho 4.
Mà dãy này tăng lên vô cùng nên dãy $f(n_k+2) $ tăng lên vô cùng khi $k $ chạy. Ta gọi $t $ là chỉ số nhỏ nhất thỏa: $f(n_t+2)>p $.
Và cũng có $n_t = p^{2^t} -1 = (p-1)(p+1)(p^2 +1)...(p^{2^{t-1}}+1) = (p-1)(p+1)n_1.n_2...n_{t-1} $ và tất cả các ước nguyên tố của các số ở vế phải đề nhỏ hơn $p $ (do ta đã gọi $t $ là chỉ số nhỏ nhất thỏa mãn $f(n_t+2)>p $).
Do vậy $f(n_k)<f(n_k+1)<f(n_k+2) $.
Và do Euclid đã chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố $p $ như đầu bài, ta có đpcm.

Xin phép đóng góp thêm một bài:
Bài 14) Tìm tất cả các số nguyên dương $a $ để $P = (4a^2)^2 + (4a^2 -1)^2 $ là một số chính phương.

Ps: mọi người cho mình hỏi làm sao để có lời giải của ba bài Test để chọn ra 6 người cuối cùng đi IMO năm 2013?
Đề bài ở đây: http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=43426
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]