Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Khám phá định lý Ptô-lê-mê

chien than · 10-11-2007, 07:08 PM

Bài toán 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). Chứng minh rằng: $\frac{AC}{BD} = \frac{BC.CD+AB.BD}{BC.BA+DC.DA} $

Hình minh họa

hinh 10)

Chứng minh:
Lấy E và F thuộc đường tròn sao cho:
$ \widehat{CDB} = \widehat{ADE} , \widehat{BDA} = \widehat{DCF} $
Khi đó: $AE=BC, FD=AB, EC=AB, BF=AD $
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho hai tứ giác nội tiếp AECD và BCDF ta có:
$AC.ED=AE.CD+AD.EC=BC.CD+AD.AB (1) \\ BD.CF=BC.DF+BF.CD=BC.AB+AD.CD (2) $
Mặt khác:
$ \widehat{CDE} = \widehat{CDB}+ \widehat{BDE}= \widehat{ADE} + \widehat{BDE}= \widehat{ADB} =widehat{FCD} $
Do đó:
$\widehat{FDC}= \widehat{FDE} + \widehat{EDC} = \widehat{FCE} + \widehat{FCD}= \widehat{ECD} $
Suy ra: $ED=FC (3) $
Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh.

Bài toán 3: Cho tam giác ABC với BE, CF là các đường phân giác trong. Các tia EF, FE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{BM} + \frac{1}{CN} = \frac{1}{AM} + \frac{1}{AN} + \frac{1}{BN} + \frac{1}{CM} $

Hình minh hoạ (hình 11)

Chứng minh:
Đặt$ BC=a, CA=b, AB=c $
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho hai tứ giác nội tiếp $AMBC $ và $ANCB $ ta có:
$a.AM+b.BM=c.CM (1)\\ a.AN+a.CN=b.BN (2) $Từ (1) và (2) ta được:
$a(AM+AN)=b(BN-BM)+c(CM-CN) (3) $
Mặt khác ta lại có:
$ \Delta ANF \sim \Delta NBF(g.g) \Rightarrow \frac{AM}{BN} = \frac{MF}{BF} (4) $
Tương tự :
$ \Delta ANF \sim \Delta MBF (g.g) \Rightarrow \frac{AN}{BM} = \frac{AF}{MF} (5) $
Từ (4), (5) và tính chất đường phân giác ta có:
$ \frac{AM.AN}{BM.BN} = \frac{AF}{BF} = \frac{b}{a} (6) $
Chứng minh tương tự ta được:
$ \frac{AM.AN}{CM.CN} = \frac{AE}{CE} = \frac{c}{a} (7) $
Từ (3), (6), (7) ta có điều phải chứng minh.

Có thể dễ dàng nhận ra nét tương đồng giữa cách giải của 3 bài toán đó là vận dụng cách vẻ hình phụ tạo ra các cặp góc bằng các cặp góc cho sẵn từ đó tìm ra các biểu diễn liên quan. Một đường lối rất hay được sử dụng trong các bài toán dạng này.

10-11-2007, 07:08 PM	#6
chien than +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Đến từ: Toán 1 K41 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội Bài gởi: 138 Thanks: 1 Thanked 113 Times in 53 Posts	Bài toán 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). Chứng minh rằng: $\frac{AC}{BD} = \frac{BC.CD+AB.BD}{BC.BA+DC.DA} $ Hình minh họahinh 10) Chứng minh: Lấy E và F thuộc đường tròn sao cho: $ \widehat{CDB} = \widehat{ADE} , \widehat{BDA} = \widehat{DCF} $ Khi đó: $AE=BC, FD=AB, EC=AB, BF=AD $ Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho hai tứ giác nội tiếp AECD và BCDF ta có: $AC.ED=AE.CD+AD.EC=BC.CD+AD.AB (1) \\ BD.CF=BC.DF+BF.CD=BC.AB+AD.CD (2) $ Mặt khác: $ \widehat{CDE} = \widehat{CDB}+ \widehat{BDE}= \widehat{ADE} + \widehat{BDE}= \widehat{ADB} =widehat{FCD} $ Do đó: $\widehat{FDC}= \widehat{FDE} + \widehat{EDC} = \widehat{FCE} + \widehat{FCD}= \widehat{ECD} $ Suy ra: $ED=FC (3) $ Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh. Bài toán 3: Cho tam giác ABC với BE, CF là các đường phân giác trong. Các tia EF, FE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng: $\frac{1}{BM} + \frac{1}{CN} = \frac{1}{AM} + \frac{1}{AN} + \frac{1}{BN} + \frac{1}{CM} $ Hình minh hoạ (hình 11) Chứng minh: Đặt$ BC=a, CA=b, AB=c $ Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho hai tứ giác nội tiếp $AMBC $ và $ANCB $ ta có: $a.AM+b.BM=c.CM (1)\\ a.AN+a.CN=b.BN (2) $Từ (1) và (2) ta được: $a(AM+AN)=b(BN-BM)+c(CM-CN) (3) $ Mặt khác ta lại có: $ \Delta ANF \sim \Delta NBF(g.g) \Rightarrow \frac{AM}{BN} = \frac{MF}{BF} (4) $ Tương tự : $ \Delta ANF \sim \Delta MBF (g.g) \Rightarrow \frac{AN}{BM} = \frac{AF}{MF} (5) $ Từ (4), (5) và tính chất đường phân giác ta có: $ \frac{AM.AN}{BM.BN} = \frac{AF}{BF} = \frac{b}{a} (6) $ Chứng minh tương tự ta được: $ \frac{AM.AN}{CM.CN} = \frac{AE}{CE} = \frac{c}{a} (7) $ Từ (3), (6), (7) ta có điều phải chứng minh. Có thể dễ dàng nhận ra nét tương đồng giữa cách giải của 3 bài toán đó là vận dụng cách vẻ hình phụ tạo ra các cặp góc bằng các cặp góc cho sẵn từ đó tìm ra các biểu diễn liên quan. Một đường lối rất hay được sử dụng trong các bài toán dạng này.