[Idèlic]

Bài 1. Cho K là một mở rộng trường của F. Định nghĩa phép nhân vô hướng với $\alpha\in F $ và $a\in K $ bởi $\alpha\cdot a=\alpha a $, là phép nhân trong K, chứng minh rằng K là một F- không gian véc tơ.

Bài 2. K là một mở rộng trường của F, chứng minh rằng [K:F]=1 khi và chỉ khi K=F.

Bài 3. Cho K là một mở rộng trường của F, và cho$ a\in K $. Chứng minh rằng ánh xạ giá trị $ev_a:F[x]\to K $ cho bởi $ev_a(f(x))=f(a) $ là một đồng cấu vành và một đồng cấu giữa các F- không gian véc tơ.( Ánh xạ như vậy sẽ gọi là đồng cấu F- đại số).

Bài 4. Chứng minh mệnh đề 1.9.

Bài 5. Chứng minh rằng $\mathbb{Q}(\sqrt{5},\sqrt{7})=\mathbb{Q}(\sqrt{5}+ \sqrt{7}) $.

Bài 6. Chứng minh tính chất phổ dụng sau đây của các vành đa thức
(a)Cho A là một vành chứa một trường F. Nếu $a_1,a_2,\cdots,a_n\in A $, chứng minh rằng có duy nhất đồng cấu vành$ \varphi :F[x_1,x_2,\cdots,x_n]\to A $ sao cho $\varphi (x_i)=a_i\forall i\in \{1,2,\cdots,n\} $.
(b)Hơn nữa, giả sử B là một vành chứa F, cùng với một hàm $ f:\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}\to B $ thoả mãn tính chất sau: Với mỗi vành A chứa F và các phần tử $a_1,a_2,\cdots,a_n\in A $, có duy nhất đồng cấu vành $\varphi :B\to A $ với $\varphi (f(x_i))=a_i\forall i $. Chứng minh rằng B đẳng cấu với $F[x_1,x_2,\cdots,x_n] $.

Bài 7. Cho A là một vành. Nếu A cũng là một F- không gian véc tơ và $\alpha (ab)=(\alpha a) b=a (\alpha b) $ với mỗi $\alpha\in F $ và $a,b\in A $, thì A được gọi là một F- đại số. Nếu A là một F- đại số chứng minh rằng A chứa một trường con đẳng cấu với F. Cũng chứng tỏ rằng nếu K là một mở rộng trường của F thì K là một F- đại số.

Bài 8. Cho K=F(a) là một mở rộng hữu hạn của F. Với $\alpha\in K $, cho $L_{\alpha} $ là ánh xạ từ K đến K xác định bởi $L_{\alpha}(x)=\alpha x $. Chứng minh rằng $L_{\alpha} $ là một biến đổi F- tuyến tính và $\det (xI-L_a) $ là đa thức tối tiểu min (F,a) của a. Với $\alpha $ nào thì $\det (xI-L_{\alpha})=\min (F,\alpha) $?

Bài 9. Cho K là một mở rộng của F sao cho [K:F] là một số nguyên tố. Chứng minh rằng không có trường trung gian giữa K và F.

Bài 10. Nếu K là mở rộng của trường F, và nếu $a\in K $ thoả mãn [F(a):F] là lẻ, chứng tỏ rằng $F(a)=F(a^2) $. Cho một ví dụ chứng tỏ rằng điều này có thể sai khi bậc của F(a) trên F là chẵn.

Bài 11. Nếu K là một mở rộng đại số của F và R là một vành con của K sao cho $F\subseteq R\subseteq K $, chứng tỏ rằng R là một trường.

Bài 12. Chứng minh rằng $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) $ và $\mathbb{Q}(\sqrt{3}) $ không đẳng cấu như các trường nhưng đẳng cấu như các $\mathbb{Q}- $ không gian véc tơ.

Bài 13. Chứng minh rằng nếu $L_1=F(a_1,\cdots,a_n) $ và $L_2=F(b_1,\cdots,b_m) $ thì trường hợp thành $L_1L_2 $ sẽ bằng $F(a_1,\cdots,a_n,b_1,\cdots, b_m) $.

Bài 14. Nếu $L_1 $ và $L_2 $ là các mở rộng trường của $F $ cùng nằm trong một trường. Chứng minh rằng $L_1L_2 $ là mở rộng hữu hạn của F nếu và chỉ nếu $L_1 $ và $L_2 $ là các mở rộng hữu hạn của F.

Bài 15. Nếu $L_1 $ và $L_2 $ là các mở rộng trường của F cùng nằm trong một trường. Chứng minh rằng $L_1L_2 $ là mở rộng đại số của F nếu và chỉ nếu $L_1 $ và $L_2 $ là các mở rộng đại số của F.

Bài 16. Cho $\mathbb{A} $ là bao đóng đại số của $\mathbb{Q} $ trong $\mathbb{C} $. Chứng minh rằng $[\mathbb{A}:\mathbb{Q}]=\infty $.

Bài 17. Cho K là một mở rộng hữu hạn của F và $L_1,L_2 $ là các trường con của K chứa F. Chứng minh rằng $[L_1L_2:F]\leq [L_1:F]\cdot [L_2:F] $ và nếu $\gcd ([L_1:F], [L_2:F])=1 $ thì ta có dấu đẳng thức.

Bài 18. Chứng minh rằng $[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},\sqrt{3}):\mathbb{Q}]=8 $.

Bài 19. Cho một ví dụ các mở rộng $L_1,L_2 $ của F thoả mãn $[L_1L_2:F]< [L_1:F]\cdot [L_2:F] $.

Bài 20. Cho một ví dụ của mở rộng trường K/F sao cho [K:F]=3 nhưng $K\not =F(\sqrt[3]{b})\forall b\in F $.

Bài 21. Cho $a\in\mathbb{C} $ là một nghiệm của $x^n-b $, với $b\in\mathbb{C} $. Chứng minh rằng $x^n-b $ được phân tích thành $\prod_{i=0}^{n-1}(x-\omega^ia) $, ở đây $\omega=e^{2\pi i/n} $.

Bài 22. (a)Cho F là một trường và $f\in F[x] $. Chứng minh rằng f bất khả quy trêb F khi và chỉ khi $f(x+\alpha) $ bất khả quy trên F với mỗi $\alpha\in F $.
(b)Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố thì đa thức $x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1 $ là bất khả quy trên $\mathbb{Q} $. (Hướng dẫn: Thay x bởi x+1).

Bài 23. Cho R là một vành có đơn vị, định nghĩa $\varphi :\mathbb{Z}\to R $ bởi $\varphi (n)=n\cdot 1 $, ở đây 1 là đơn vị của R. Chứng tỏ rằng $\varphi $ là một đồng cấu vành và $\ker (\varphi)=m\mathbb{Z} $, với một số nguyên không âm duy nhất m. Cũng chứng tỏ rằng m bằng đặc số của R.

Bài 24. Với mỗi số nguyên dương n cho ví dụ một vành có đặc số n.

Bài 25. Chứng minh rằng nếu R là một miền nguyên thì đặc số của nó bằng 0 hoặc bằng một số nguyên tố.

Bài 26. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị kí hiệu là 1. Vành con nguyên tố của R là giao của tất cả các vành con của R, chứng minh rằng vành con nguyên tố là một vành con của R và nó chứa trong tất cả các vành con của R, hơn nữa, nó bằng $\{n\cdot 1|n\in\mathbb{Z}\} $.

Bài 27. Cho F là một trường. Chứng minh rằng nếu char (F)=p>0 thì vành con nguyên tố của F đẳng cấu với $\mathbb{F}_p $, nếu char (F)=0 thì vành con nguyên tố của F đẳng cấu với $\mathbb{Z} $.

Bài 28. Cho F là một trường, trường con nguyên tố của F là giao của tất cả các trường con của F. Chứng minh rằng trường con nguyên tố của F là một trường con của F và nó chứa trong tất cả các trường con của F. Chứng minh rằng trường con nguyên tố là trường thương của vành con nguyên tố của F, và nó đẳng cấu với $\mathbb{F}_p $hay $\mathbb{Q} $ tuỳ theo đặc số của F bằng p>0 hay 0.
-----

Mặc dù mục đính chính là giải các bài tập nhưng các bạn có câu hỏi gì khi đọc mục này cứ post vào đây.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]