Hôm nay chúng ta sẽ công bố Ngày 1 của đề 2 và sửa bài ngày 1 của đề 1. Bài bất đẳng thức, ngoài cách dùng PQR của bạn cpv-mydream còn có cách dùng dồn biến (Tôi sẽ trình bày trong một post khác) Bài hình thì cpv-mydream đã giải theo lời giải chuẩn rồi. Ý cơ bản là: 1) S đối xứng với J qua H 2) M nằm trên đường tròn (AKIL) 3) Cuối cùng là xử lý mấy cái hình bình hành, hình chữ nhật theo một thứ tự nào đó. Dưới đây là ý giải bài 3. Ta sẽ chứng minh rằng số lần hỏi ít nhất là 3. Trước hết, ta sẽ chỉ ra rằng với 2 lần hỏi thì không đủ để xác định được bộ ba $(x, y, z)$. Chú ý rằng ta luôn có $|x+y-a-b| + |y+z-b-c| + |z+x-c-a|$ là một số chẵn và không vượt quá 54. Thật vậy, \[\begin{array}{l} |x + y - a - b| + |y + z - b - c| + |z + x - c - a| &\equiv x + y - a - b + y + z - b - c + z + x - a - b\\ &\equiv 2(x + y + z - a - b - c) \equiv 0\quad \left( {\bmod 2} \right) \end{array}\] và thêm nữa $ |x+y-a-b| + |y+z-b-c| + |z+x-c-a| \le 3.18 = 54 $ Vì vậy nên nếu B chỉ hỏi hai lần thì A sẽ đưa ra hai số chẵn trong đoạn $[0, 54]$. Giả sử ứng với mỗi bộ hai số chẵn mà A đưa lại, B có thể xác định được một bộ $(x,y,z)$ duy nhất thỏa mãn. Ta thấy số cặp số $ (m, n) $ chẵn không vượt hơn 54 là $28^2 < 1000$ trong đó $1000$ chính là số tất cả các bộ $(x,y,z)$ có thể. Từ đó, theo định lý nguyên lý Dirichlet thì chưa thể tìm ra được ngay bộ vì có tồn tại hai bộ mà khi hỏi A sẽ đưa ra cùng một cặp kết quả. Ta sẽ đưa ra chiến thuật để B có thể đoán ra được kết quả chính xác sau lần hỏi như sau: Bước 1. B đưa bộ $(0, 0, 0) $ từ đó sẽ xác định được $x+y+z$ . Ta hoàn toàn có thể giả sử $ x + y + z \le 13 $ vì nếu ngược lại thì ở các bước tiếp theo thay vì dùng $(a,b,c)$ theo chiến thuật, B sẽ dùng $(9-a,9-b,9-c)$. Bước 2 và 3. Ta có hai trường hợp: • Nếu $ S \le 9 $ , B sẽ hỏi $ (S, 0, 0) $ và $ (0, S, 0) $ lần lượt là sẽ thành công. • Nếu $ 9 < S \le 13 $. B hỏi $(S-9, 0, 9)$ sẽ có $|S - 9 - x| + y - 9 - z = 2k $ với $k$ nào đó. Sau đó B sẽ hỏi bộ $(0, k, S-k) $ là sẽ kết thúc được. Dễ dàng kiểm tra được các tính toán này sẽ cho ra bộ số duy nhất. Ý tưởng cơ bản của bài này là hệ 3 phương trình, 3 ẩn số mà thôi. [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] |