Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Đề thi các trường chuyên và các tỉnh năm học 2019-2020-Lời giải và bình luận

**Le khanhsy** · 04-10-2019, 10:36 AM

Cách 2 đề Hà Nội
Chúng ta sẽ chứng minh $P_{max}=-\dfrac{21}{4}$, hay là
$$\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}-\dfrac{21}{4}\ge a^3+b^3+c^3,$$
Giả sử $a\le b\le c$. Áp dụng Cauchy Schwarz, ta có
$$\begin{aligned}\dfrac{(2a-1)^2(3-a)(a+4)}{4a}+\dfrac{(2b-1)^2(3-b)(b+4)}{4b}&\ge \dfrac{(2a+2b-2)^2}{\dfrac{4a}{(3-a)(a+4)}+\dfrac{4b}{(3-b)(b+4)} }\\
\left(\dfrac{1}{(3-x)(x+4)}\le\dfrac{1}{(3-c)(c+4)}\right)_{0<x\le c<3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ &\ge \dfrac{(2a+2b-2)^2}{\dfrac{4(a+b)}{(3-c)(c+4)}}\\
&=(c+4)(c-2)^2.\end{aligned}$$
Vậy nên chúng ta cần chứng minh
$$\dfrac{98-51(a+b)}{4}+(c+4)(c-2)^2\ge c^3-\dfrac{3}{c}+\dfrac{21}{4},$$
$$(c+4)(c-2)^2\ge \dfrac{(c-2)^2(4c^2+16c-3)}{4c},$$
hay
$$\dfrac{3(c-2)^2}{4c}\ge 0.$$
Hoàn tất chứng minh.

04-10-2019, 10:36 AM	#44
Le khanhsy Super Moderator Tham gia ngày: Oct 2017 Bài gởi: 48 Thanks: 52 Thanked 57 Times in 30 Posts	Cách 2 đề Hà Nội Chúng ta sẽ chứng minh $P_{max}=-\dfrac{21}{4}$, hay là $$\dfrac{3}{a}+\dfrac{3}{b}+\dfrac{3}{c}-\dfrac{21}{4}\ge a^3+b^3+c^3,$$ Giả sử $a\le b\le c$. Áp dụng Cauchy Schwarz, ta có $$\begin{aligned}\dfrac{(2a-1)^2(3-a)(a+4)}{4a}+\dfrac{(2b-1)^2(3-b)(b+4)}{4b}&\ge \dfrac{(2a+2b-2)^2}{\dfrac{4a}{(3-a)(a+4)}+\dfrac{4b}{(3-b)(b+4)} }\\ \left(\dfrac{1}{(3-x)(x+4)}\le\dfrac{1}{(3-c)(c+4)}\right)_{0<x\le c<3} \ \ \ \ \ \ \ \ \ &\ge \dfrac{(2a+2b-2)^2}{\dfrac{4(a+b)}{(3-c)(c+4)}}\\ &=(c+4)(c-2)^2.\end{aligned}$$ Vậy nên chúng ta cần chứng minh $$\dfrac{98-51(a+b)}{4}+(c+4)(c-2)^2\ge c^3-\dfrac{3}{c}+\dfrac{21}{4},$$ $$(c+4)(c-2)^2\ge \dfrac{(c-2)^2(4c^2+16c-3)}{4c},$$ hay $$\dfrac{3(c-2)^2}{4c}\ge 0.$$ Hoàn tất chứng minh.