[leviethai]

Nguyên văn bởi codinh24

Chứng minh bất đẳng thức sau:

với $a,b,c $ là các số thực dương.

Bất đẳng thức này tương đương với bất đẳng thức sau

Cho $a,b,c $ là các số thực dương thỏa mãn $xyz=1 $. Chứng minh rằng

$\[\frac{1}{{\sqrt {4{x^2} + x + 4} }} + \frac{1}{{\sqrt {4{y^2} + y + 4} }} + \frac{1}{{\sqrt {4{z^2} + z + 4} }} \le 1.\] $

Bài này có cách giải khá thú vị. Ta có bất đẳng thức sau

$\[\frac{1}{{\sqrt {4{x^2} + x + 4} }} \le \frac{1}{2} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}.\] $

Như vậy, ta có

$\[\sum {\frac{1}{{\sqrt {4{x^2} + x + 4} }}} \le \frac{1}{2}\sum {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \] $

Như vậy ta cần chứng minh

$\[\sum {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \le 2\] $

Tương đương với

$\[\sum {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + x + 1}}} \ge 1.\] $

Đây là một bất đẳng thức quen thuộc và có thể chứng minh bằng Cauchy Schwarz. Ta có điều phải chứng minh. $\hfill \Box $
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]