Trích:
Nguyên văn bởi doxuantung97  Cho $p$ là một số nguyên tố lẻ và $a$ là một số nguyên dương bất kì. Đặt $A=(a+1^2)(a+2^2)...(a+(\frac{p-1}{2})^2)$ Tìm số dư của $A$ khi chia cho $p$ ______________________ Bài Hải Phòng năm nay là một hệ quả của bài toán này!  |
Đặt $M = \{1^2, 2^2,..., (\frac{p-1}{2})^2\}, N = \{-1^2, -2^2,..., -(\frac{p-1}{2})^2\} $.
Trường hợp 1: $a\equiv 0 (mod p) $.
Rõ ràng là $A \equiv (-1)^{\frac{p+1}{2}} (mod p) $.
Trường hợp 2: $a \in N $ hoặc $a\in M, p \equiv 1 (mod 4) $.
Dễ thấy $A \equiv 0 (mod p) $.
Trường hợp 3: $a \in M, p \equiv 3(mod 4) $.
Xét đa thức $P(x) = (x + 1^2)(x + 2^2)...(x + (\frac{p-1}{2})^2) - x^{\frac{p-1}{2}} - 1 $.
Ta thấy rằng $deg(P(x)) = \frac{p-3}{2} $ và $P(x) $ có $\frac{p-1}{2} $ nghiệm theo $mod p $ nên $P(x) \equiv 0 (mod p) $. Do đó: $P(a) \equiv a^{\frac{p-1}{2}} + 1 \equiv 2 (mod p) $.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]