Trích:
Nguyên văn bởi batigoal  Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình sau:
$x^2+2y^2=z^2 $ |
Bổ đề: Một số chính phương chia hết cho 4 hoặc chia 8 dư 1.
Dễ thấy pt có nghiệm dạng $(k ; 0 ; -k) $ ($\forall k \in \mathbb{Z} $.
Ta chỉ xét x ; y ; z khác 0.
Đặt $d = gcd(x ; y ; z) $.
Suy ra:
$x = dx_0 $
$y = dy_0 $
$z = dz_0 $
$x_0^2 + 2y_0^2 = z_0^2 $.
Nếu $y_0^2 \equiv 1 (mod 8) $ thì $z_0^2 - x_0^2 \equiv 2 (mod 8) $ (mâu thuẫn với bổ đề).
Vậy $4|y_0^2 $.
Suy ra $2|y_0 $.
Do $x_0 $ và $z_0 $ cùng tính chẵn lẻ nên $x_0 $ và $z_0 $ cùng lẻ.
Mình mới làm tới đó thôi
, nhưng có vẻ như pt này vô số nghiệm (ngay cả TH x ; y ; z khác 0).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]