Trích:
Nguyên văn bởi huynhcongbang  Đề thi ngày 2.
Bài 5.
Tìm tất cả đa thức $P(x),Q(x)$ có hệ số nguyên và thỏa mãn điều kiện:
Với dãy số $({{x}_{n}})$ xác định bởi: ${{x}_{0}}=2014,{{x}_{2n+1}}=P({{x}_{2n}}),{{x}_{2 n}}=Q({{x}_{2n-1}})$ với $n\ge 1$ thì mỗi số nguyên dương $m$ là ước của một số hạng khác 0 nào đó của dãy $({{x}_{n}})$.
|
Nêu tí cảm nhận về bài này.
Nhận xét: với đa thức $R(x) $ hệ số nguyên, nếu bậc R lớn hơn 1, thì với x có trị tuyệt đối đủ lớn, ta có $\left |R(x) \right |>2\left | x \right | $
Nếu có một trong hai đa thức $P, Q $ là hằng, dễ có điều vô lý.
Giả sử, trong hai đa thức P(x) và Q(x) có một đa thức có bậc lớn hơn 1, có thể coi là $Q(x) $, khi đó bậc của $Q(P(x)) $ cũng lớn hơn 1.
Suy ra, với mọi x lớn hơn N thì $\left |Q(P(x)) \right |>\left | P(x) \right |+\left | x \right | $
Bây giờ, xét dãy số thỏa mãn. Vì trong dãy có số chia hết cho m lớn bất kỳ khác 0, nên tồn tại $\left | x_{i} \right | $ lớn tùy ý, không khó từ đó suy ra có j mà $\left | x_{2j} \right |>N+1 $ và $x_{2j} $ là số có giá trị tuyệt đối lớn nhất trong 2j số đầu tiên.
Từ nhận xét trên suy ra chọn $m=\left |x_{2j+2}-x{2j} \right | $ thì trong 2j+2 số đầu của dãy, không số nào chia hết cho m. Và ta lại có $x_{2k+2}-x_{2k}\vdots x_{2j+2}-x_{2j}
x_{2k+3}-x_{2k+1}\vdots x_{2j+2}-x_{2j} $
với mọi k>j, nên dãy không có số nào chia hết cho m.
Như vậy, P, Q đều có bậc 1.
Lập luận tương tự, ta thấy $P,Q $ không thể cùng có hệ số cao nhất có trị tuyệt đối lớn hơn 1.
Xét P có hệ số cao nhất là 2, bằng cách như trên, ta suy ra nếu P(x) có dạng $2x-a $ thì $Q(x) $ phải có dạng $x+a $, thay vào không khó để thấy vô lí.
Cuối cùng là $P,Q $ đều có hệ số cao nhất là $1 $ hoặc $-1 $.
Nếu hai hệ số cao nhất này đối nhau, dễ thấy dãy tuần hoàn.
Ta chỉ còn xét $P(x)=x+b,Q(x)=x+d $ hoặc $P(x)=-x+b $ và $Q(x)=-x+d $
Đến đây thì không khó để làm tiếp rồi.
Có khá nhiều chỗ dễ thấy, nhưng không dễ lắm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]