Trích:
Nguyên văn bởi nvthanh1994  Bạn nào làm cụ thể bài 4 hộ với để còn cho nó cái hyperlink vào trang 1 |
Cách làm của mình:
Bổ đề 1: Cho tam giác ABC, O là một điểm nằm trong tam giác, khi đó trong các tia OA, OB, OC không có tia nào là tia nằm trong góc được tạo bởi hai tia còn lại. (dễ dàng chứng minh được điều này)
Bổ đề 2: Cho tam giác ABC với các cạnh không lớn hơn $\sqrt{3} $ thì tam giác này được phủ bởi ba đường tròn đơn vị có tâm là A, B và C.
Chứng minh BĐ2:
Phát biểu khác: có một điểm M nằm trong tam giác ABC thỏa mãn MA, MB, MC đều lớn hơn 1 thì tam giác đó có một cạnh lớn hơn $\sqrt{3} $.
Gọi các điểm, A', B', C' là các điểm trên các tia MA, MB, MC sao cho MA' = MB' = MC' = 1. Khi đó ta dễ dàng chứng minh được A'B' < AB, B'C' < BC, C'A' < CA. Như vậy ta chỉ cần chứng minh trong các cạnh A‘B'C' có một cạnh có độ dài không bé hơn $\sqrt{3} $. Áp dụng bổ đề 1 ta có A‘B'C' nội tiếp đường tròn tâm M bán kính 1 và là một tam giác nhọn. Trong các góc B'MC', C'MA', A'MB' sẽ có một góc không bé hơn 120 độ, không mất tính tổng quát giả sử đó là góc B'MC', khi đó B'C' sẽ không bé hơn $\sqrt{3} $, bổ đề được chứng minh.
Áp dụng bổ đề 2 cho các tam giác ABC, ACD, AED ta sẽ suy ra trong 2011 điểm đã cho không có điểm nào nằm ngoài 5 đường tròn đơn vị có tâm là A, B, C, D, E. Áp dụng nguyên lý Dirichlet suy ra đpcm
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]