Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

**huynhcongbang** · 19-07-2018, 04:09 AM

Chương trình GGTH thường niên tại TPHCM vừa kết thúc hôm qua. Xin gửi mọi người đề thi hướng tới Olympic của chương trình, dành cho cả ba khối 10, 11, 12.

Đề Olympic Gặp gỡ toán học lần thứ 10
Ngày thi: 15/7/2018

LỚP 10.
Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên $(a, b)$ thỏa mãn phương trình $$(a+b)^4 = 6a^2 + 8ab + 6b^2.$$

Bài 2. Với a, b, c là ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện $(a+1)(b+1)(c+1)=8$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P={{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2} }{{a}^{2}}.$$

Bài 3. Trong một giải đấu bóng đá, các đội thi đấu vòng tròn một lượt với nhau. Kết thúc mỗi trận đấu, đội thắng sẽ được $3$ điểm, đội thua được $0$ điểm, còn nếu hai đội hòa nhau thì mỗi đội được $1$ điểm. Kết thúc giải đấu, có một đội giành được nhiều điểm nhất giải nhưng lại có số trận thắng ít nhất. Tìm số đội bóng tối thiểu có thể có của giải.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn (O) có I là tâm đường tròn nội tiếp. Tia $AI$ cắt $(O)$ tại $J$ khác A. Đường thẳng $JO$ cắt $(O)$ tại $K$ khác $J$ và cắt BC tại $E.$ Tiếp tuyến của (O) tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $S.$ Đường thẳng $SA$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A,$ đường thẳng $DI$ cắt $(O)$ tại $M$ khác $D.$ Chứng minh $JM$ đi qua trung điểm đoạn $IE.$

LỚP 11.

Bài 1. Xét bảng vuông $n × n$ ô trong đó $n$ là bội số của $3.$ Ta muốn tô màu một số ô sao cho trong mỗi bảng con $m × m$ với $m > 1,$ số ô được tô không lớn hơn số ô không được tô. Hỏi có tối đa bao nhiêu ô được tô?
Bài 2. Cho $n, k$ là các số nguyên dương. Giả sử rằng tồn tại các bộ số nguyên $A = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ và $B = (b_1, b_2, \ldots , b_n)$ không trùng nhau sao cho
$$a_{1}^{i}+a_{2}^{i}+...+a_{n}^{i}=b_{1}^{i}+b_{2 }^{i}+...+b_{n}^{i}$$ với mọi số nguyên dương $i$ không vượt quá $k.$

a) Với $n =3, k = 2,$ hãy tìm một cặp $(A, B)$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
b) Chứng minh rằng $n\ge k+1.$

Bài 3. Các điểm $X$ và $Y$ tương ứng nằm trên các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $B, C$ sao cho $AB = BX$ và $AC = CY$. (Các điểm $X, Y, A$ nằm cùng phía đối với đườngthẳng BC.) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC,$ chứng minh rằng $\angle BAC + \angle XIY = 180^\circ.$

Bài 4. Cho $A$ là tập hợp hữu hạn các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: với mọi cặp hai phần tử phân biệt $x, y$ thuộc $A$ thì ta có \[|x-y|\ge \frac{xy}{31}.\] Hỏi $A$ có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?

LỚP 12.

Bài 1. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 = 1.$ Chứng minh rằng
$$3abc \ge 10(a^3 + b^3 + c^3 – 1)$$

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) không cân nội tiếp đường tròn $(O).$ Trên cạnh $AC, AB$ lấy $D, E$ sao cho tứ giác $BCDE$ nội tiếp đường tròn tâm $(O')$. Gọi $F$ là giao điểm của BC, DE. $M$ là hình chiếu của $O'$ lên $AF.$ $G$ là giao điểm của $BD, CE.$ Gọi $I, J, K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $BC, CA, AB.$ Chứng minh rằng:
a) Ba điểm $I, J, K$ thẳng hàng và nằm trên đường thẳng $d.$
b) $d$ chia đôi $MG.$

Bài 3. Cho A là tập hợp gồm $2n – 1$ số thực dương phân biệt $(n ≥ 2)$ có tổng bằng $S.$ Chứng minh rằng có thể tìm được ít nhất $C_{2n-2}^{n-1}$ tập con $n$ phần tử của $A$ mà tổng các phần tử của mỗi tập con ấy không nhỏ hơn $[\frac{S}{2}].$

Bài 4. a. Chứng minh rằng trong $6$ số nguyên liên tiếp, khi lấy $5$ số tùy ý thì tồn tại $3$ số đôi một nguyên tố cùng nhau.
b. Với mọi số nguyên dương $n \ge 4,$ gọi $f(n)$ là số nhỏ nhất sao cho trong mọi tập con $f(n)$ phần tử của tập hợp gồm $n$ số tự nhiên liên tiếp đều tìm được $3$ số đôi một nguyên tố cùng nhau. Tìm công thức xác định $f(n).$

19-07-2018, 04:09 AM	#1
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Đề thi Olympic Gặp gỡ Toán học 10 Chương trình GGTH thường niên tại TPHCM vừa kết thúc hôm qua. Xin gửi mọi người đề thi hướng tới Olympic của chương trình, dành cho cả ba khối 10, 11, 12. Đề Olympic Gặp gỡ toán học lần thứ 10 Ngày thi: 15/7/2018 LỚP 10. Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên $(a, b)$ thỏa mãn phương trình $$(a+b)^4 = 6a^2 + 8ab + 6b^2.$$ Bài 2. Với a, b, c là ba số thực không âm thỏa mãn điều kiện $(a+1)(b+1)(c+1)=8$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P={{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2} }{{a}^{2}}.$$ Bài 3. Trong một giải đấu bóng đá, các đội thi đấu vòng tròn một lượt với nhau. Kết thúc mỗi trận đấu, đội thắng sẽ được $3$ điểm, đội thua được $0$ điểm, còn nếu hai đội hòa nhau thì mỗi đội được $1$ điểm. Kết thúc giải đấu, có một đội giành được nhiều điểm nhất giải nhưng lại có số trận thắng ít nhất. Tìm số đội bóng tối thiểu có thể có của giải. Bài 4. Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB < AC$) nội tiếp đường tròn (O) có I là tâm đường tròn nội tiếp. Tia $AI$ cắt $(O)$ tại $J$ khác A. Đường thẳng $JO$ cắt $(O)$ tại $K$ khác $J$ và cắt BC tại $E.$ Tiếp tuyến của (O) tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $S.$ Đường thẳng $SA$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A,$ đường thẳng $DI$ cắt $(O)$ tại $M$ khác $D.$ Chứng minh $JM$ đi qua trung điểm đoạn $IE.$ LỚP 11. Bài 1. Xét bảng vuông $n × n$ ô trong đó $n$ là bội số của $3.$ Ta muốn tô màu một số ô sao cho trong mỗi bảng con $m × m$ với $m > 1,$ số ô được tô không lớn hơn số ô không được tô. Hỏi có tối đa bao nhiêu ô được tô? Bài 2. Cho $n, k$ là các số nguyên dương. Giả sử rằng tồn tại các bộ số nguyên $A = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ và $B = (b_1, b_2, \ldots , b_n)$ không trùng nhau sao cho $$a_{1}^{i}+a_{2}^{i}+...+a_{n}^{i}=b_{1}^{i}+b_{2 }^{i}+...+b_{n}^{i}$$ với mọi số nguyên dương $i$ không vượt quá $k.$ a) Với $n =3, k = 2,$ hãy tìm một cặp $(A, B)$ thỏa mãn điều kiện đề bài. b) Chứng minh rằng $n\ge k+1.$ Bài 3. Các điểm $X$ và $Y$ tương ứng nằm trên các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $B, C$ sao cho $AB = BX$ và $AC = CY$. (Các điểm $X, Y, A$ nằm cùng phía đối với đườngthẳng BC.) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC,$ chứng minh rằng $\angle BAC + \angle XIY = 180^\circ.$ Bài 4. Cho $A$ là tập hợp hữu hạn các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: với mọi cặp hai phần tử phân biệt $x, y$ thuộc $A$ thì ta có \[\|x-y\|\ge \frac{xy}{31}.\] Hỏi $A$ có nhiều nhất bao nhiêu phần tử? LỚP 12. Bài 1. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 = 1.$ Chứng minh rằng $$3abc \ge 10(a^3 + b^3 + c^3 – 1)$$ Bài 2. Cho tam giác $ABC$ ($AB < AC$) không cân nội tiếp đường tròn $(O).$ Trên cạnh $AC, AB$ lấy $D, E$ sao cho tứ giác $BCDE$ nội tiếp đường tròn tâm $(O')$. Gọi $F$ là giao điểm của BC, DE. $M$ là hình chiếu của $O'$ lên $AF.$ $G$ là giao điểm của $BD, CE.$ Gọi $I, J, K$ lần lượt là hình chiếu của $M$ lên $BC, CA, AB.$ Chứng minh rằng: a) Ba điểm $I, J, K$ thẳng hàng và nằm trên đường thẳng $d.$ b) $d$ chia đôi $MG.$ Bài 3. Cho A là tập hợp gồm $2n – 1$ số thực dương phân biệt $(n ≥ 2)$ có tổng bằng $S.$ Chứng minh rằng có thể tìm được ít nhất $C_{2n-2}^{n-1}$ tập con $n$ phần tử của $A$ mà tổng các phần tử của mỗi tập con ấy không nhỏ hơn $[\frac{S}{2}].$ Bài 4. a. Chứng minh rằng trong $6$ số nguyên liên tiếp, khi lấy $5$ số tùy ý thì tồn tại $3$ số đôi một nguyên tố cùng nhau. b. Với mọi số nguyên dương $n \ge 4,$ gọi $f(n)$ là số nhỏ nhất sao cho trong mọi tập con $f(n)$ phần tử của tập hợp gồm $n$ số tự nhiên liên tiếp đều tìm được $3$ số đôi một nguyên tố cùng nhau. Tìm công thức xác định $f(n).$ __________________ Sự im lặng của bầy mèo