Ðề tài: Phương trình hàm
Xem bài viết đơn
Old 26-11-2017, 12:29 AM   #2
Thụy An
+Thành Viên+
 
Tham gia ngày: Oct 2017
Bài gởi: 72
Thanks: 1
Thanked 48 Times in 36 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi Ho Tung Quan View Post
Mọi người giải giúp em bài toán này với nhé!

Tìm tất cả các hàm số $ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} $ thỏa:
$$ f(x^2-y^2)=xf(x)-yf(y), \forall x, y\in \mathbb{R}.$$
Cho $y=0$ có $f\left(x^2\right)=xf(x)$, từ đó với mọi $a;\,b\ge 0$ có
\[f\left( {a - b} \right) = f\left( a \right) - f\left( b \right)\]
Với $a=b$, ta được $f(0)=0$ từ đó $f(-x)=-f(x)$ và do vậy $f$ là hàm cộng tính. Đặt $f(1)=k$ và có
\[\left( {x + 1} \right)\left( {f\left( x \right) + k} \right) = f\left( {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right) = f\left( {{x^2}} \right) + 2f\left( x \right) + k = xf\left( x \right) + 2f\left( x \right) + k\]
Từ đó $f(x)=kx$ với $k$ là hằng số tùy ý.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
Thụy An is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
 
[page compression: 7.80 k/8.84 k (11.86%)]