Hihi! Conan Edogawa làm gì xúc động vậy, anh thấy làm mấy cái này cũng vui nên lâu lâu rảnh mới gom góp lời giải lại cho mọi người tiện tham khảo thôi. Được các bạn ủng hộ vậy thì anh cũng mừng lắm rồi, nhất là có bạn herr.casanova đề nghị làm thêm nữa nè.
À, về kì thi bổ sung thì mình cũng không rõ năm ấy cho thi mấy bài nữa, mình nhớ hồi lớp 10 hay 11 gì đó mình có tìm được đề thi này nhưng chỉ có ba bài thôi và cũng chưa thấy ai giải nữa. Bài hình thấy cũng không rắc rối lắm mà làm hoài không ra, hic! Hôm đó mình cũng có đem lên dd hỏi 1 lần rồi. Nếu các bạn có hứng thú, thử tham khảo đề bên dưới và ai có gợi ý gì thì chia sẻ với nha! Cảm ơn nhiều lắm!
Đề thi bổ sung chọn HSG vào đội tuyển dự thi IMO 2005
Bài 1: Cho tam giác ABC có $AB \neq AC $ và các góc $B,C $ đều nhọn (*) .Kí hiệu $(O) $ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC $.Gọi $D $ là chân đường cao ứng với đỉnh $A $; từ $C $ hạ $CH $ vuông góc với đường thẳng $AO $.Kí hiệu $(I) $ là đường tròn đi qua điểm $H $ và tiếp xúc với đường tròn $(P) $ đường kính $AB $ tại điểm $D $.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn $OI $ đối với tất cả các tam giác $ABC $ thoả mãn điều kiện (*) , có $BC = 1 $ và có bán kính các đường tròn $(I) $ và $(P) $ bằng nhau .
b) Gọi $Q $là trung điểm cạnh $AC $, $G $ là trọng tâm tam giác $ABC $ .Đường phân giác trong góc A của tam giác $ABC $ cắt đường thẳng $IQ $ tại $E $ và đường tròn $(P) $ tại $F $ ($F \neqA $).Đường phân giác ngoài góc $A $ của tam giác $ABC $ cắt đường tròn $(O) $ tại K($K \neq A $).
Chứng minh rằng $GK $ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF $."
Bài 2: Xét số $A=2004^{2005}-2005^{2004}-2052^{1991} $.
Hãy chứng minh rằng $A $ là một hợp số dương và tổng các ước số dương của $A $ chia hết cho 24.
Bài 3: Cho bảng vuông kích thước $n\times n(n\geq 2) $ .Hai ô vuông được gọi là kề nhau nếu chúng là hai ô liên tiếp trên cùng một hàng hoặc cùng một cột .
a) Tìm số nguyên dương $p $ lớn nhất để tồn tại một cách đánh dấu p ô trên bảng thoả mãn điều kiện :
Trong số các ô kề với mỗi ô được đánh dấu có không quá một ô được đánh dấu.
b) Hai cách đánh dấu được gọi là q kề nhau nếu chúng đều có q ô được đánh dấu, trong đó có $(q-1) $ ô có vị trí trùng nhau trên bảng và hai ô còn lại của hai cách này là hai ô kề nhau. Tìm số nguyên dương $q $ nhỏ nhất để tồn tại một cách đánh dấu $q $ ô trên bảng thoả mãn các điều kiện:
i) Tất cả các ô kề với mỗi ô được đánh dấu đều không được đánh dấu.
ii) Mọi cách đánh dấu q kề nhau với nó đều không thoả mãn điều kiện i).
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]