[portgas_d_ace]

Trước hết ta có
\[S = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \ldots = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{k}{{{2^k}}}} \]
Mặc khác
\[S\left( n \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {{a^k}} = \frac{{{a^{n + 1}} - a}}{{a - 1}}\]
Lấy đạo hàm theo $a$ ta sẽ có
\[\sum\limits_{k = 1}^n {k{a^{k - 1}}} = \frac{{n{a^{n + 2}} - n{a^{n + 1}} - {a^{n + 1}} + a}}{{a{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow \sum\limits_{k = 1}^n {k{a^k}} = \frac{{n{a^{n + 2}} - n{a^{n + 1}} - {a^{n + 1}} + a}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}\]
Cho $a= \frac{1}{2}$ và $n \to \infty $ ta sẽ có
\[S = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \ldots = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{k}{{{2^k}}}} = 2\]
Tiếp theo ta tính
\[P = \prod\limits_{k = 1}^{ + \infty } {{{\left( {{3^k}} \right)}^{\frac{1}{{{3^k}}}}}} \]
Ta có
\[P = \prod\limits_{k = 1}^{ + \infty } {{{\left( {{3^k}} \right)}^{\frac{1}{{{3^k}}}}}} = \prod\limits_{k = 1}^{ + \infty } {{3^{\frac{k}{{{3^k}}}}}} = {3^{\sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\frac{k}{{{3^k}}}} }} = {3^{\frac{3}{4}}} = \sqrt[4]{{27}}\]
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]