Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

galmotcoh · 25-03-2008, 12:55 AM

Bài này nói về tương đương hữu tỷ, và tương đương đại số. Trước hết motivation xuất phát từ complex function theory. Như đã nói cho 1 hàm meromorphic trên 1 diện Riemann chẳng hạn, ta sẽ có những thông tin gì về hàm này? Có 2 luận điểm quan trọng mà ta cần nắm được về hàm meromorphic. Thứ nhất là Pol và Zero của nó, thứ 2 là quan điểm sau:

Cho trước 1 hàm meromorphic trên 1 diện Riemann X tương đương với việc cho 1 hàm chỉnh hình (holomorphic) từ X vào $\mathbb{P}^1 $.

Quan điểm này tuy trivial nhưng nó rất quan trọng cho việc sau này define rational equivalence. Điều này có nghĩa $\mathcal{M}^{\times}(X) = Hol(X,\mathbb{P}^1) $. Ta ký hiệu $\mathcal{M} $ cho meromorphic functions.

Với 1 compact Riemann surface, ta define $Div(X) = \oplus_P\mathbb{Z}[P]/div(\mathcal{M}^{\times}). $

Nói cách khác, 2 divisors là tương đương tuyến tính, nếu hiệu của chúng là 1 divisor đến từ meromorphic function, i.e., $div(f) = \sum ord_P(f) \cdot [P]. $ Với ord của meromorphic hiểu như là số nguyên dương m nếu nó có zero cấp m tại P, và bằng -m nếu nó có Pol cấp m tại P.

In fancy language ta có thể nói ord là 1 valuation của 1 discret valued ring. Ta có thể tổng quát lên higher dimension không? Và làm thế nào?

Đến đây ý tưởng về điểm tổng quát đóng vai trò chủ đạo. Ta thay thế điểm thông thường trong giải tích phức bằng điểm có dimension. Như vậy ta nói 2 r-cycles tương đương hữu tỷ nếu chúng khác nhau bởi tổng hữu hạn các div(rational functions). More precisely, nếu xét 1 điểm là đa tạp con bất khả quy V với codim(X,V) = r. Ta nói V ~rat 0 nếu tồn tại hữu hạn các đa tạp con W của V với codim(V,W) = 1, và các rational functions f trên W, sao cho V bằng tổng các div(f). Ở đây ord của f được định nghĩa thông qua length của module O_W/(f) over O_W.

Cách nhìn rational equivalence thế này rất tiện lợi. Tuy nhiên vẫn còn cách khác cũng không kém quan trọng, bằng việc khai thác luận điểm thứ 2 như đã nhắc ở trên về meromorphic functions.

Xét X là 1 scheme với product $X \times \mathbb{P}^1 $. Projection on the first factor will gives us then a dominant map from V to $\mathbb{P}^1 $ (dominant có nghĩa là closure của image sẽ bằng toàn không gian), ở đây V là prime cycle nào đó. Như đã nhắc tới ở trên to give a morphism vào $\mathbb{P}^1 $ tương đương với to give a rational function trong $\mathcal{M}^{\times}(V) $. Do đó ta có thể coi div(f) như là hiệu của nghịch ảnh của 0 và nghịch ảnh của điểm vô hạn. Lưu ý nghịch ảnh ở đây hiểu theo nghĩa lược đồ, which means là chúng ta lấy tích thớ dọc theo $\mathbb{P}^1 $ với V.

Ta sẽ nói 2 cycle tương đương đại số (algebraic equivalenc) nếu chúng thỏa mãn những điều ta nói ở trên với rational equivalence nhưng $\mathbb{P}^1 $ được thay thế bởi 1 đường cong đại số trơn C liên thông bất kỳ, và 2 điểm 0 và vô hạn được thay thế bởi 2 điểm a,b bất kỳ trên C.

25-03-2008, 12:55 AM	#3
galmotcoh +Thành Viên+ Tham gia ngày: Mar 2008 Bài gởi: 18 Thanks: 0 Thanked 1 Time in 1 Post	Bài này nói về tương đương hữu tỷ, và tương đương đại số. Trước hết motivation xuất phát từ complex function theory. Như đã nói cho 1 hàm meromorphic trên 1 diện Riemann chẳng hạn, ta sẽ có những thông tin gì về hàm này? Có 2 luận điểm quan trọng mà ta cần nắm được về hàm meromorphic. Thứ nhất là Pol và Zero của nó, thứ 2 là quan điểm sau: Cho trước 1 hàm meromorphic trên 1 diện Riemann X tương đương với việc cho 1 hàm chỉnh hình (holomorphic) từ X vào $\mathbb{P}^1 $. Quan điểm này tuy trivial nhưng nó rất quan trọng cho việc sau này define rational equivalence. Điều này có nghĩa $\mathcal{M}^{\times}(X) = Hol(X,\mathbb{P}^1) $. Ta ký hiệu $\mathcal{M} $ cho meromorphic functions. Với 1 compact Riemann surface, ta define $Div(X) = \oplus_P\mathbb{Z}[P]/div(\mathcal{M}^{\times}). $ Nói cách khác, 2 divisors là tương đương tuyến tính, nếu hiệu của chúng là 1 divisor đến từ meromorphic function, i.e., $div(f) = \sum ord_P(f) \cdot [P]. $ Với ord của meromorphic hiểu như là số nguyên dương m nếu nó có zero cấp m tại P, và bằng -m nếu nó có Pol cấp m tại P. In fancy language ta có thể nói ord là 1 valuation của 1 discret valued ring. Ta có thể tổng quát lên higher dimension không? Và làm thế nào? Đến đây ý tưởng về điểm tổng quát đóng vai trò chủ đạo. Ta thay thế điểm thông thường trong giải tích phức bằng điểm có dimension. Như vậy ta nói 2 r-cycles tương đương hữu tỷ nếu chúng khác nhau bởi tổng hữu hạn các div(rational functions). More precisely, nếu xét 1 điểm là đa tạp con bất khả quy V với codim(X,V) = r. Ta nói V ~rat 0 nếu tồn tại hữu hạn các đa tạp con W của V với codim(V,W) = 1, và các rational functions f trên W, sao cho V bằng tổng các div(f). Ở đây ord của f được định nghĩa thông qua length của module O_W/(f) over O_W. Cách nhìn rational equivalence thế này rất tiện lợi. Tuy nhiên vẫn còn cách khác cũng không kém quan trọng, bằng việc khai thác luận điểm thứ 2 như đã nhắc ở trên về meromorphic functions. Xét X là 1 scheme với product $X \times \mathbb{P}^1 $. Projection on the first factor will gives us then a dominant map from V to $\mathbb{P}^1 $ (dominant có nghĩa là closure của image sẽ bằng toàn không gian), ở đây V là prime cycle nào đó. Như đã nhắc tới ở trên to give a morphism vào $\mathbb{P}^1 $ tương đương với to give a rational function trong $\mathcal{M}^{\times}(V) $. Do đó ta có thể coi div(f) như là hiệu của nghịch ảnh của 0 và nghịch ảnh của điểm vô hạn. Lưu ý nghịch ảnh ở đây hiểu theo nghĩa lược đồ, which means là chúng ta lấy tích thớ dọc theo $\mathbb{P}^1 $ với V. Ta sẽ nói 2 cycle tương đương đại số (algebraic equivalenc) nếu chúng thỏa mãn những điều ta nói ở trên với rational equivalence nhưng $\mathbb{P}^1 $ được thay thế bởi 1 đường cong đại số trơn C liên thông bất kỳ, và 2 điểm 0 và vô hạn được thay thế bởi 2 điểm a,b bất kỳ trên C.