Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

**ma 29** · 12-01-2009, 04:46 PM

Bên mnf sắp đóng cửa mà đây là một bài viết có giá trị nên ma 29 mạn phép post luôn nó lên đây ,rất mong bạn Artemix đồng ý

--------------------------------------------------------------------------
CHUYÊN ĐỀ VỀ PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ

MỞ ĐẦU : Vì tính quan trọng của ẩn phụ trong giải toán nên tôi quyết định chia bài viết này ra làm 3 phần cơ bản:
(1) Ẩn phụ dựa trên hàm số
(2) Ẩn ngược
(3) Ẩn phụ dựa trên quan hệ Tổng_Hiệu_Tích(*)
Và các bài tập đưa vào sẽ ở mức độ từ vừa phải đến khó,thậm chí là rất khó để tăng sự hấp dẫn của bài viết.

PHẦN A: Ẩn phụ dựa trên hàm số

Kiến thức sơ bộ: (a) Phương pháp Cácđanô để giải phương trình bậc 3( từ khóa Cardon method for solving cubic equation )
Sẽ là khá thú vị nếu chúng ta thử tìm hiểu một chút về lịch sử phát triển của pt bậc 3:
Phác đồ giải thuật:
Nhận xét 1: Dựa vào khái niệm giới hạn suy ra mọi pt bậc 3 đều có nghiệm đó là việc 1 pt bậc 3 dạng đủ: $x $ tiến đến dương(âm) vô cùng..
(2) Sự chuyển ẩn: Mọi pt bậc 3 đều quy về dạng: $m $ thuộc $\[-1,1\] $ để ý công thức lượng giác $cos3x $.
Cho trường hợp $m $ không thuộc $\[-1,1\] $ gợi ý để ý tới công thức $ch3x $ với ch là hàm Hypecbolic của $x $. $e,g $ là hai hằng số thỏa mãn: $P(x) $ là phân tích được thành tích của các đa thức con với bậc nhỏ hơn hoặc bằng 4,việc giải pt $P(x)=0 $ được quy về việc giải các PT con.
Nhưng thường thì việc phân tích đa thức dựa trên hệ số bất định chỉ khả thi với các đa thức hệ số đẹp và nghiệm cũng đẹp( tức là trong nghiệm ko chứa các căn bậc 3,4 thậm chí là 5 ).
Nhưng bản thân tôi đã từng gặp những phương trình bậc cao 5 thậm chí là 7 hoặc 8,9 với những hệ số rất chẵn nhưng lại có nghiệm vô cùng lẻ? Vậy thì những phương trình đó được tạo thành như thế nào? Rõ ràng là không thể dựa vào việc phân tích phương trình gốc thành tích của các hạng tử bậc 1 được,điều đó nói thẳng ra là bất khả thi.
Do đó trong phần 1 của chuyên đề này tôi sẽ giới thiệu tới các bạn những phương trình được tạo thành bởi các ẩn dạng hàm số.

A) Các dạng lượng giác:
1) Trích đề thi Olympic 30-4 lần 7
Giải phương trình:
$\[-a,a\] $ như vậy dễ dẫn tới việc đặt ẩn phụ dạng lượng giác.
Thật vậy: Xét $cos7x $.
Do tập giá trị của hàm sô: $\[-1,1\] $ nên ta có quyền đặt: $x=cost $ ( với $t $ thuộc $cost $ ( để ý cost khác 0 )ta có
$x $ thuộc $[0,2] $ mà $sint,cost $ đều thuộc $\[0,1\] $ )
Như vậy PT đã cho có nghiệm khi dấu các đẳng thức xảy ra tức là:
$x=0 $ hoặc $x=2 $.

3)Trích đề thi HSG toàn quốc bảng A năm 1988
Giải phương trình:
$x=acost $ hoặc$[0,a] $ với $a $ dương nên nghĩ tới ẩn dạng: $u $ khác $[-1,1] $ của phương trình trên bằng cách đặt $[-1,1] $
Hay là $x $ nằm ngoài $[-1,1] $ như vậy ta có thể đặt: $x>1 $.
Do đó ta có quyền đặt: $t $ dương.
Vậy Pt đã cho quy về:
$t $ dương
Xét hàm số: $t>0 $
$t=1 $,qua bảng biến thiên ta suy ra $g(1) $ chính là min của hàm $g(t) $ với $t>0 $
Nhưng $g(1)=0 $ nên PT: $g(t)=0 $ chỉ có nghiệm duy nhất $t=1 $ ,suy ra PT ban đầu cũng chỉ có nghiệm duy nhất: $x=3 $.

Bài tập đề nghị:
1)Giải phương trình:
$a,b $ cho trước lớn hơn 1)
$\ {(a+b)}^{2cos^2x}-a^{2cos^2x}-b^{2cos^2x}=a^{2sin^2x}+b^{2sin2x}-{(a+b)}^{2sin^2x} $
( Bài này hơi khó,gợi ý các bạn sử dụng tính tăng của hàm sin hypecbolic )

Như vậy qua các bài trên chúng ta đã định hình được 1 lớp PT bậc cao hơn 5 giải được bằng sự chuyển ẩn về dạng Hypecbolic để quy về pt bậc 2 .
==============
Phương pháp suy biến ẩn ngược

Thế nào là suy biến ẩn ngược
Có thể nói vắn tắt về suy biến ẩn ngược như sau:
Từ phương trình ban đầu: $\sqrt{10-3x}=u $ ( đk là $u,v $ đều dương ) ta có
phương trình (1) tương đương với: $\sqrt{2x+6}=v $ dễ thấy: $f(x)=0 $ chỉ có nghiệm duy nhất.
Mà $x=-1 $ là nghiệm nên kết luận,nghiệm duy nhất của pt đã cho là $\ x=-1 $

Như vậy qua các bài tập trên có lẽ các bạn đã ít nhiều quen với các phương trình dạng này rồi phải không? Dưới đây là một số bài tập tương đối hay tôi muốn giới thiệu tới các bạn:
1) Giải phương trình:
$\ 8x^3-12x^2+6x-2= \sqrt[3]{2x} $

2) Giải phương trình:
$\ x^3+3x^2+3x-1= \sqrt[3]{ {(x^2+3x+4)}^2} + \sqrt[3]{x^2+3x+4} $

3) Giải phương trình:
$\ x^5= \sqrt[5]{ {(x^3+x-1)}^3} + \sqrt[5]{ x^3+x-1}-1 $

4)Giải phương trình:
$\ x^3= \sqrt[3]{x+2lnx}+ \frac{2}{3}ln(x+2lnx) $
( Ẩn ngược với hàm siêu việt )

5)Giải phương trình:
$\ x^3= \sqrt[3]{x-sinx} - sin{ \sqrt[3]{x-sinx} } $
==============
ẨN PHỤ DỰA TRÊN QUAN HỆ TỔNG HIỆU TÍCH

Thế nào là ẩn phụ dựa trên quan hệ tổng hiệu tích.Minh họa hay nhất có lẽ là thông qua các ví dụ cụ thể dưới đây:

1)Giải phương trình:
$\ x^2-3x+1= - \frac{ \sqrt{3}}{3} \sqrt{x^4+x^2+1} $
( Lược trích đề 30-4 lần 5 )

Lời giải:
Nhận xét:
$\ x^4+x^2+1={(x^2+1)}^2-x^2=(x^2-x+1)(x^2+x+1) $
Mặt khác: $\ x^2-3x+1=2(x^2-x+1)-(x^2+x+1) $
Đặt: $\sqrt{x^2-x+1}=u $ và $\sqrt{x^2+x+1}=v $ lưu ý cả u,v dương
Như vậy phương trình đã cho quy về phương trình thuần nhất theo u và v như sau:
$\ 2u^2-v^2+ \frac{ \sqrt{3}}{3}uv=0 $(*)
Giải (*) kết hợp với u,v dương ta có: $\sqrt{3}u=v $
Hay là: $\ 3u^2=v^2 $ tức là
$\ 3(x^2-x+1)=(x^2+x+1) \Leftrightarrow 2{(x-1)}^2=0 \Leftrightarrow x=1 $
Vậy x=1 là nghiệm duy nhất

2)Giải phương trình:
$\ 18x^2-13x+2= \sqrt{3} \sqrt{81x^4-108x^3+56x^2-12x+1} $

Lời giải:
Xét điều kiện: $\ x \geq \frac{1}{2} $ hoặc $\ x \leq \frac{2}{9} $
Mặt khác:
$\ 18x^2-13x+2=18x^2-12x+2-x=2(9x^2-6x+1)-x=2{(3x-1)}^2-x $
Và dễ có VP bằng: $\ VP={(3x-1)}^4+2x^2 $ ( Tự kiểm tra )
Như vậy nếu đặt: $\ u={(3x-1)}^2 $ ta có phương trình đã cho tương đương với: $\ 2u-x= \sqrt{3} \sqrt{u^2+2x^2} $
Bình phương cả hai vế ta có:
$\ {(2u-x)}^2=3(u^2+2x^2) $ hay là : $\ u^2-4ux-5x^2=0 $
Giải ra ta có:
$\ u+x=0 $ ( dễ dàng loại do

elta <0 )
Hoặc $\ u-5x=0 $ hay là $\ 9x^2-11x+1=0 $
Giải ra ta có nghiệm là:
$\ x= \frac{11- \sqrt{85}}{18} $ hoặc là
$\ x= \frac{11+ \sqrt{85}}{18} $

Có lẽ là không có gì quá nhiều để nói về lớp các bài toán giống như 2 bài trên,nền tảng cơ bản của nó là sự quy đổi phương trình ban đầu trở về các phương trình thuần nhất cơ bản,qua đó quy về các phương trình bậc thấp hơn 5 ( tức là giải được )

Bài tập đề nghị:
1)Giải phương trình:
$\ x^2+2x+19=4 \sqrt[3]{x^4+x^3-3x^2-32x+52} $
( Gợi ý chuyển ẩn y=x+1 )
2)Giải phương trình:
$\sqrt{x+1}+ \sqrt{x^2-1}-1=(x+1) \sqrt{x-1} $
3)(**) Giải phương trình:
$\frac{3x^4+9x^3+17x^2+11x+8}{3x^2+4x+5}=(x+1) \sqrt{x^2+3} $
( Tôi đánh giá rất cao bạn nào có thể giải được bài này trong 1,2 ngày )
4)Giải phương trình:
$\ 2x^2+3=3 \sqrt[3]{x^4+x^2+1} $
5)Giải phương trình:
$\ 27x^4+8 \sqrt{1-x^2}=12 $
6)Giải phương trình:
$\ 4{(3x-1)}^4+ \frac{ \sqrt{3}}{2} \sqrt{2x-3x^2}=1 $
==============
PHƯƠNG PHÁP TRỤC CĂN THỨC MỘT CẢI TIẾN NHỎ

Thực ra không có gì nhiều để nói về phương pháp này,có lẽ các bạn cũng biết rằng phương pháp này là đắc dụng đối với các phương trình vô tỷ có chứa căn.
Đối với những phương trình có chứa căn đồng bậc thì thường là dừng lại ở mức trục căn với một hằng số dương cho trước ví dụ như một bài tiêu biểu dưới đây:
1) Giải phương trình:
$\ x^2+3x+1=(x+3) \sqrt{x^2+1} $

Lời giải:
Viết lại phương trình đã cho về dạng:
$\ (x^2-8)+ 3x+9-(x+3) \sqrt{x^2+1}=0 $ Hay là:
$\ (x^2-8)-(x+3)( \sqrt{x^2+1}-3)=0 $ Thực hiện trục căn và đặt $\ (x^2-8) $ ra ngoài ta có phương trình tương đương sau:
$\ (x^2-8)( 1- \frac{x+3}{ \sqrt{x^2+1}+3})=0 $
Hay là :
$\ (x^2-8)( \frac{ \sqrt{x^2+1}-x}{x+3})=0 $(1)
Rõ ràng là (1) chỉ có nghiệm là : $\ x^2-8=0 $ hay $\ x= 2 \sqrt{2} $ hoặc $\ x=-2 \sqrt{2} $

Đây là 1 lời giải khá đặc biệt bằng trục căn thức phải không các bạn.
Để cụ thể hơn có lẽ chúng ta quay về xét một bài khá đơn giản:

2) Đề thi HSG Toàn quốc A-2002
Giải phương trình:
$\sqrt{4-3 \sqrt{10-3x}}=x-2 $

Lời giải:
Đk $\ 2 \leq x \leq \frac{10}{3} $
Phương trình đã cho tương đương với:
$\ 4- \sqrt{10-3x}={(x-2)}^2 $
Viết lại phương trình đã cho về dạng như sau:
$\ {(x-2)}^2-1+ 3{( \sqrt{10-3x}-1)}=0 $
Trục căn ta có phương trình tương đương như sau:
$\ (x-3){( (x-1)- \frac{9}{ \sqrt{10-3x}+1} )}=0 $
Như vậy dễ thấy x=3 là nghiệm.Xét tiếp cho phương trình thứ hai:
$\ (x-1)- \frac{9}{ \sqrt{10-3x}+1}=0 $
Nhưng do $\ x-1 \leq \frac{10}{3}-1= \frac{7}{3} \le 3= \frac{9}{ \sqrt{4}+1} \leq frac{9}{ \sqrt{10-3x}+1} $
Như vậy phương trình này vô nghiệm.
Kết luận x=3 là nghiệm duy nhất của phương trình dã cho.

Một số bài tập đề nghị cho phương pháp trục căn với số thực:
1) Thi HSG toàn quốc bảng B-1995
Giải phương trình:
$\ 2x^2-11x+21=3 \sqrt[3]{4x+4} $
2)Giải phương trình:
$\sqrt{ \frac{6}{2-x}}+ \sqrt{ \frac{10}{3-x}}=4 $
3)Giải phương trình ( Trích THTT )
$\sqrt[4]{17-x^8}+ \sqrt[3]{2x^8-1}=1 $
4)Giải phương trình:
$\sqrt{ \frac{1-x}{x}}= \frac{2x+x^2}{1+x^2} $

Tuy nhiên đối với một số phương trình vô tỷ đặc biệt là các phương trình chưas căn lệch bậc sự trục căn với số thực dương tỏ ra ít nhiều hạn chế.

TRỤC CĂN VỚI CẢ MỘT BIỂU THỨC CỦA BIẾN

Chúng ta hãy thử bắt đầu bằng một bài toán khá khó
1) Giải phương trình:
$\ 2 \sqrt{(2-x)(5-x)}=x+ \sqrt{(2-x)(10-x)} $ cho x<2
( Trích trong cuốn " Tìm tòi để học toán- Lê Quang Nẫm )
Lời giải gốc:
Xin được tóm tắt như sau:
Thực hiện trục căn:
$\ 2( \sqrt{(2-x)(5-x)}-2)=(x-1)+ \sqrt{(2-x)(10-x)}-3 $
Ta có:
$\ 2 \frac{x^2-7x+6}{ \sqrt{(2-x)(5-x)}+2}=(x-1)+ \frac{x^2-12x+11}{ \sqrt{(2-x)(10-x)}+3} $
Loại đi nghiệm x=1 (hiển nhiên có) chúng ta giải phương trình thứ 2
$\ 1+ \frac{x-11}{ \sqrt{(2-x)(10-x)}+3}- \frac{2(x-6)}{ \sqrt{(2-x)(5-x)}+2}=0 $(*)
Đánh giá như sau:
Do x<2 nên :
$\ (2-x)(10-x) \geq (2-x)(5-x) $ suy ra
$\frac{1}{ \sqrt{(2-x)(10-x)}+3} \leq \frac{1}{ \sqrt{(2-x)(5-x)}+2} $
Nhưng do x<2 nên x-11<0 chính vì vậy dấu của BDT sẽ đổi chiều hay là:
$\frac{x-11}{ \sqrt{(2-x)(10-x)}+3} \geq \frac{x-11}{ \sqrt{(2-x)(5-x)}+2} $(1)
Mặt khác hiển nhiên có $\ 1 \geq \frac{1}{ \sqrt{(2-x)(5-x)}+2} $(2)
Lấy (1) cộng (2) nên ta suy ra được VT của PT luôn dương còn VP =0 nên PT(*) vô nghiệm.Nên PT gốc chỉ có nghiệm x=1

Lời giải này rõ ràng là hay,nhưng tại sao lại phải giải cho x<2,sau khi suy nghĩ tôi có đưa ra được 1 lời giải khác cho x thuộc R mà vẫn sử dụng trục căn ( Ko cần phải bình phương quy về pt bậc 4 ).
PT đã cho tương đương với:
$\sqrt{(2-x)(10-x)}-(x+2)= 2( \sqrt{(2-x)(5-x)}-(x+1)) $
Thực hiện trục thẳng căn( Kiểm chứng đk cho hai mẫu khác 0 )
Ta có phương trình tương đương:
$\frac{16(1-x)}{B+x+2}= \frac{18(1-x)}{A+x+1} $
Với $\sqrt{(2-x)(10-x)}=B $ và $\sqrt{(2-x)(5-x)}=A $
Pt gốc cho ta quan hệ: $\ 2A=B+x $(1)
Để ý loại đi nghiệm hiển nhiên thấy x=1 ta có
Phương trình cần giải còn lại là:
$\frac{8}{B+x+2}= \frac{9}{A+x+1} $(2)
(1) và (2) lập thành 1 hệ phương trình như sau:
$\ 2A=B+x $
$\8(A+x+1)=9(B+x+2) $ Giải hệ trên ta suy ra:
$\ 5B=3x-10 $ Hay là $\ 5 \sqrt{(2-x)(10-x)}=3x-10 $ PT này quy về phương trình bậc 2,và cuối cùng tìm được thêm 1 nghiệm nữa là:
$\ x = \frac{15+5 \sqrt{5}}{2} $ và $\ x=1 $ (ban đầu)

Các bạn hãy thử luyện tập bằng 1 vài bài dưới đây:
1) Giải phương trình:
$\sqrt[3]{x^2-1}+x= \sqrt{x^3-2} $

2) Giải phương trình:
$\ 2 \sqrt{x^3-7}- \sqrt[3]{x^2+4}=0 $

3) Giải phương trình:
$\sqrt[3]{x^2-1}+ \sqrt{3x^3-2}=3x-2 $

4)Giải phương trình:
$\sqrt[3]{x^2+4}= \sqrt{x-1}+2x-3 $

Đây chỉ là một bài viết có tính giới thiệu 1 phương pháp có lẽ là khá lạ với các bạn,hy vọng nó sẽ giúp ích ít nhiều cho các bạn trong việc mở khóa các phương trình chứa căn thức.

Kummer

12-01-2009, 04:46 PM	#3
ma 29 +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: May 2008 Đến từ: ĐH Kinh tế Quốc dân Bài gởi: 888 Thanks: 113 Thanked 968 Times in 210 Posts	Bên mnf sắp đóng cửa mà đây là một bài viết có giá trị nên ma 29 mạn phép post luôn nó lên đây ,rất mong bạn Artemix đồng ý -------------------------------------------------------------------------- CHUYÊN ĐỀ VỀ PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ MỞ ĐẦU : Vì tính quan trọng của ẩn phụ trong giải toán nên tôi quyết định chia bài viết này ra làm 3 phần cơ bản: (1) Ẩn phụ dựa trên hàm số (2) Ẩn ngược (3) Ẩn phụ dựa trên quan hệ Tổng_Hiệu_Tích() Và các bài tập đưa vào sẽ ở mức độ từ vừa phải đến khó,thậm chí là rất khó để tăng sự hấp dẫn của bài viết. PHẦN A: Ẩn phụ dựa trên hàm số Kiến thức sơ bộ: (a) Phương pháp Cácđanô để giải phương trình bậc 3( từ khóa Cardon method for solving cubic equation ) Sẽ là khá thú vị nếu chúng ta thử tìm hiểu một chút về lịch sử phát triển của pt bậc 3: Phác đồ giải thuật: Nhận xét 1: Dựa vào khái niệm giới hạn suy ra mọi pt bậc 3 đều có nghiệm đó là việc 1 pt bậc 3 dạng đủ: $x $ tiến đến dương(âm) vô cùng.. (2) Sự chuyển ẩn: Mọi pt bậc 3 đều quy về dạng: $m $ thuộc $\[-1,1\] $ để ý công thức lượng giác $cos3x $. Cho trường hợp $m $ không thuộc $\[-1,1\] $ gợi ý để ý tới công thức $ch3x $ với ch là hàm Hypecbolic* của $x $. $e,g $ là hai hằng số thỏa mãn: $P(x) $ là phân tích được thành tích của các đa thức con với bậc nhỏ hơn hoặc bằng 4,việc giải pt $P(x)=0 $ được quy về việc giải các PT con. Nhưng thường thì việc phân tích đa thức dựa trên hệ số bất định chỉ khả thi với các đa thức hệ số đẹp và nghiệm cũng đẹp( tức là trong nghiệm ko chứa các căn bậc 3,4 thậm chí là 5 ). Nhưng bản thân tôi đã từng gặp những phương trình bậc cao 5 thậm chí là 7 hoặc 8,9 với những hệ số rất chẵn nhưng lại có nghiệm vô cùng lẻ? Vậy thì những phương trình đó được tạo thành như thế nào? Rõ ràng là không thể dựa vào việc phân tích phương trình gốc thành tích của các hạng tử bậc 1 được,điều đó nói thẳng ra là bất khả thi. Do đó trong phần 1 của chuyên đề này tôi sẽ giới thiệu tới các bạn những phương trình được tạo thành bởi các ẩn dạng hàm số. A) Các dạng lượng giác: 1) Trích đề thi Olympic 30-4 lần 7 Giải phương trình: $\[-a,a\] $ như vậy dễ dẫn tới việc đặt ẩn phụ dạng lượng giác. Thật vậy: Xét $cos7x $. Do tập giá trị của hàm sô: $\[-1,1\] $ nên ta có quyền đặt: $x=cost $ ( với $t $ thuộc $cost $ ( để ý cost khác 0 )ta có $x $ thuộc $[0,2] $ mà $sint,cost $ đều thuộc $\[0,1\] $ ) Như vậy PT đã cho có nghiệm khi dấu các đẳng thức xảy ra tức là: $x=0 $ hoặc $x=2 $. 3)Trích đề thi HSG toàn quốc bảng A năm 1988 Giải phương trình: $x=acost $ hoặc$[0,a] $ với $a $ dương nên nghĩ tới ẩn dạng: $u $ khác $[-1,1] $ của phương trình trên bằng cách đặt $[-1,1] $ Hay là $x $ nằm ngoài $[-1,1] $ như vậy ta có thể đặt: $x>1 $. Do đó ta có quyền đặt: $t $ dương. Vậy Pt đã cho quy về: $t $ dương Xét hàm số: $t>0 $ $t=1 $,qua bảng biến thiên ta suy ra $g(1) $ chính là min của hàm $g(t) $ với $t>0 $ Nhưng $g(1)=0 $ nên PT: $g(t)=0 $ chỉ có nghiệm duy nhất $t=1 $ ,suy ra PT ban đầu cũng chỉ có nghiệm duy nhất: $x=3 $. Bài tập đề nghị: 1)Giải phương trình: $a,b $ cho trước lớn hơn 1) $\ {(a+b)}^{2cos^2x}-a^{2cos^2x}-b^{2cos^2x}=a^{2sin^2x}+b^{2sin2x}-{(a+b)}^{2sin^2x} $ ( Bài này hơi khó,gợi ý các bạn sử dụng tính tăng của hàm sin hypecbolic ) Như vậy qua các bài trên chúng ta đã định hình được 1 lớp PT bậc cao hơn 5 giải được bằng sự chuyển ẩn về dạng Hypecbolic để quy về pt bậc 2 . ============== Phương pháp suy biến ẩn ngược Thế nào là suy biến ẩn ngược Có thể nói vắn tắt về suy biến ẩn ngược như sau: Từ phương trình ban đầu: $\sqrt{10-3x}=u $ ( đk là $u,v $ đều dương ) ta có phương trình (1) tương đương với: $\sqrt{2x+6}=v $ dễ thấy: $f(x)=0 $ chỉ có nghiệm duy nhất. Mà $x=-1 $ là nghiệm nên kết luận,nghiệm duy nhất của pt đã cho là $\ x=-1 $ Như vậy qua các bài tập trên có lẽ các bạn đã ít nhiều quen với các phương trình dạng này rồi phải không? Dưới đây là một số bài tập tương đối hay tôi muốn giới thiệu tới các bạn: 1) Giải phương trình: $\ 8x^3-12x^2+6x-2= \sqrt[3]{2x} $ 2) Giải phương trình: $\ x^3+3x^2+3x-1= \sqrt[3]{ {(x^2+3x+4)}^2} + \sqrt[3]{x^2+3x+4} $ 3) Giải phương trình: $\ x^5= \sqrt[5]{ {(x^3+x-1)}^3} + \sqrt[5]{ x^3+x-1}-1 $ 4)Giải phương trình: $\ x^3= \sqrt[3]{x+2lnx}+ \frac{2}{3}ln(x+2lnx) $ ( Ẩn ngược với hàm siêu việt ) 5)Giải phương trình: $\ x^3= \sqrt[3]{x-sinx} - sin{ \sqrt[3]{x-sinx} } $ ============== ẨN PHỤ DỰA TRÊN QUAN HỆ TỔNG HIỆU TÍCH Thế nào là ẩn phụ dựa trên quan hệ tổng hiệu tích.Minh họa hay nhất có lẽ là thông qua các ví dụ cụ thể dưới đây: 1)Giải phương trình: $\ x^2-3x+1= - \frac{ \sqrt{3}}{3} \sqrt{x^4+x^2+1} $ ( Lược trích đề 30-4 lần 5 ) Lời giải: Nhận xét: $\ x^4+x^2+1={(x^2+1)}^2-x^2=(x^2-x+1)(x^2+x+1) $ Mặt khác: $\ x^2-3x+1=2(x^2-x+1)-(x^2+x+1) $ Đặt: $\sqrt{x^2-x+1}=u $ và $\sqrt{x^2+x+1}=v $ lưu ý cả u,v dương Như vậy phương trình đã cho quy về phương trình thuần nhất theo u và v như sau: $\ 2u^2-v^2+ \frac{ \sqrt{3}}{3}uv=0 $() Giải () kết hợp với u,v dương ta có: $\sqrt{3}u=v $ Hay là: $\ 3u^2=v^2 $ tức là $\ 3(x^2-x+1)=(x^2+x+1) \Leftrightarrow 2{(x-1)}^2=0 \Leftrightarrow x=1 $ Vậy x=1 là nghiệm duy nhất 2)Giải phương trình: $\ 18x^2-13x+2= \sqrt{3} \sqrt{81x^4-108x^3+56x^2-12x+1} $ Lời giải: Xét điều kiện: $\ x \geq \frac{1}{2} $ hoặc $\ x \leq \frac{2}{9} $ Mặt khác: $\ 18x^2-13x+2=18x^2-12x+2-x=2(9x^2-6x+1)-x=2{(3x-1)}^2-x $ Và dễ có VP bằng: $\ VP={(3x-1)}^4+2x^2 $ ( Tự kiểm tra ) Như vậy nếu đặt: $\ u={(3x-1)}^2 $ ta có phương trình đã cho tương đương với: $\ 2u-x= \sqrt{3} \sqrt{u^2+2x^2} $ Bình phương cả hai vế ta có: $\ {(2u-x)}^2=3(u^2+2x^2) $ hay là : $\ u^2-4ux-5x^2=0 $ Giải ra ta có: $\ u+x=0 $ ( dễ dàng loại do elta <0 ) Hoặc $\ u-5x=0 $ hay là $\ 9x^2-11x+1=0 $ Giải ra ta có nghiệm là: $\ x= \frac{11- \sqrt{85}}{18} $ hoặc là $\ x= \frac{11+ \sqrt{85}}{18} $ Có lẽ là không có gì quá nhiều để nói về lớp các bài toán giống như 2 bài trên,nền tảng cơ bản của nó là sự quy đổi phương trình ban đầu trở về các phương trình thuần nhất cơ bản,qua đó quy về các phương trình bậc thấp hơn 5 ( tức là giải được ) Bài tập đề nghị: 1)Giải phương trình: $\ x^2+2x+19=4 \sqrt[3]{x^4+x^3-3x^2-32x+52} $ ( Gợi ý chuyển ẩn y=x+1 ) 2)Giải phương trình: $\sqrt{x+1}+ \sqrt{x^2-1}-1=(x+1) \sqrt{x-1} $ 3)() Giải phương trình: $\frac{3x^4+9x^3+17x^2+11x+8}{3x^2+4x+5}=(x+1) \sqrt{x^2+3} $ ( Tôi đánh giá rất cao bạn nào có thể giải được bài này trong 1,2 ngày ) 4)Giải phương trình: $\ 2x^2+3=3 \sqrt[3]{x^4+x^2+1} $ 5)Giải phương trình: $\ 27x^4+8 \sqrt{1-x^2}=12 $ 6)Giải phương trình: $\ 4{(3x-1)}^4+ \frac{ \sqrt{3}}{2} \sqrt{2x-3x^2}=1 $ ============== PHƯƠNG PHÁP TRỤC CĂN THỨC MỘT CẢI TIẾN NHỎ Thực ra không có gì nhiều để nói về phương pháp này,có lẽ các bạn cũng biết rằng phương pháp này là đắc dụng đối với các phương trình vô tỷ có chứa căn. Đối với những phương trình có chứa căn đồng bậc thì thường là dừng lại ở mức trục căn với một hằng số dương cho trước ví dụ như một bài tiêu biểu dưới đây: 1) Giải phương trình: $\ x^2+3x+1=(x+3) \sqrt{x^2+1} $ Lời giải: Viết lại phương trình đã cho về dạng: $\ (x^2-8)+ 3x+9-(x+3) \sqrt{x^2+1}=0 $ Hay là: $\ (x^2-8)-(x+3)( \sqrt{x^2+1}-3)=0 $ Thực hiện trục căn và đặt $\ (x^2-8) $ ra ngoài ta có phương trình tương đương sau: $\ (x^2-8)( 1- \frac{x+3}{ \sqrt{x^2+1}+3})=0 $ Hay là : $\ (x^2-8)( \frac{ \sqrt{x^2+1}-x}{x+3})=0 $(1) Rõ ràng là (1) chỉ có nghiệm là : $\ x^2-8=0 $ hay $\ x= 2 \sqrt{2} $ hoặc $\ x=-2 \sqrt{2} $ Đây là 1 lời giải khá đặc biệt bằng trục căn thức phải không các bạn. Để cụ thể hơn có lẽ chúng ta quay về xét một bài khá đơn giản: 2) Đề thi HSG Toàn quốc A-2002 Giải phương trình: $\sqrt{4-3 \sqrt{10-3x}}=x-2 $ Lời giải: Đk $\ 2 \leq x \leq \frac{10}{3} $ Phương trình đã cho tương đương với: $\ 4- \sqrt{10-3x}={(x-2)}^2 $ Viết lại phương trình đã cho về dạng như sau: $\ {(x-2)}^2-1+ 3{( \sqrt{10-3x}-1)}=0 $ Trục căn ta có phương trình tương đương như sau: $\ (x-3){( (x-1)- \frac{9}{ \sqrt{10-3x}+1} )}=0 $ Như vậy dễ thấy x=3 là nghiệm.Xét tiếp cho phương trình thứ hai: $\ (x-1)- \frac{9}{ \sqrt{10-3x}+1}=0 $ Nhưng do $\ x-1 \leq \frac{10}{3}-1= \frac{7}{3} \le 3= \frac{9}{ \sqrt{4}+1} \leq frac{9}{ \sqrt{10-3x}+1} $ Như vậy phương trình này vô nghiệm. Kết luận x=3 là nghiệm duy nhất của phương trình dã cho. Một số bài tập đề nghị cho phương pháp trục căn với số thực: 1) Thi HSG toàn quốc bảng B-1995 Giải phương trình: $\ 2x^2-11x+21=3 \sqrt[3]{4x+4} $ 2)Giải phương trình: $\sqrt{ \frac{6}{2-x}}+ \sqrt{ \frac{10}{3-x}}=4 $ 3)Giải phương trình ( Trích THTT ) $\sqrt[4]{17-x^8}+ \sqrt[3]{2x^8-1}=1 $ 4)Giải phương trình: $\sqrt{ \frac{1-x}{x}}= \frac{2x+x^2}{1+x^2} $ Tuy nhiên đối với một số phương trình vô tỷ đặc biệt là các phương trình chưas căn lệch bậc sự trục căn với số thực dương tỏ ra ít nhiều hạn chế. TRỤC CĂN VỚI CẢ MỘT BIỂU THỨC CỦA BIẾN** Chúng ta hãy thử bắt đầu bằng một bài toán khá khó 1) Giải phương trình: $\ 2 \sqrt{(2-x)(5-x)}=x+ \sqrt{(2-x)(10-x)} $ cho x<2 ( Trích trong cuốn " Tìm tòi để học toán- Lê Quang Nẫm ) Lời giải gốc: Xin được tóm tắt như sau: Thực hiện trục căn: $\ 2( \sqrt{(2-x)(5-x)}-2)=(x-1)+ \sqrt{(2-x)(10-x)}-3 $ Ta có: $\ 2 \frac{x^2-7x+6}{ \sqrt{(2-x)(5-x)}+2}=(x-1)+ \frac{x^2-12x+11}{ \sqrt{(2-x)(10-x)}+3} $ Loại đi nghiệm x=1 (hiển nhiên có) chúng ta giải phương trình thứ 2 $\ 1+ \frac{x-11}{ \sqrt{(2-x)(10-x)}+3}- \frac{2(x-6)}{ \sqrt{(2-x)(5-x)}+2}=0 $() Đánh giá như sau: Do x<2 nên : $\ (2-x)(10-x) \geq (2-x)(5-x) $ suy ra $\frac{1}{ \sqrt{(2-x)(10-x)}+3} \leq \frac{1}{ \sqrt{(2-x)(5-x)}+2} $ Nhưng do x<2 nên x-11<0 chính vì vậy dấu của BDT sẽ đổi chiều hay là: $\frac{x-11}{ \sqrt{(2-x)(10-x)}+3} \geq \frac{x-11}{ \sqrt{(2-x)(5-x)}+2} $(1) Mặt khác hiển nhiên có $\ 1 \geq \frac{1}{ \sqrt{(2-x)(5-x)}+2} $(2) Lấy (1) cộng (2) nên ta suy ra được VT của PT luôn dương còn VP =0 nên PT() vô nghiệm.Nên PT gốc chỉ có nghiệm x=1 Lời giải này rõ ràng là hay,nhưng tại sao lại phải giải cho x<2,sau khi suy nghĩ tôi có đưa ra được 1 lời giải khác cho x thuộc R mà vẫn sử dụng trục căn ( Ko cần phải bình phương quy về pt bậc 4 ). PT đã cho tương đương với: $\sqrt{(2-x)(10-x)}-(x+2)= 2( \sqrt{(2-x)(5-x)}-(x+1)) $ Thực hiện trục thẳng căn( Kiểm chứng đk cho hai mẫu khác 0 ) Ta có phương trình tương đương: $\frac{16(1-x)}{B+x+2}= \frac{18(1-x)}{A+x+1} $ Với $\sqrt{(2-x)(10-x)}=B $ và $\sqrt{(2-x)(5-x)}=A $ Pt gốc cho ta quan hệ: $\ 2A=B+x $(1) Để ý loại đi nghiệm hiển nhiên thấy x=1 ta có Phương trình cần giải còn lại là: $\frac{8}{B+x+2}= \frac{9}{A+x+1} $(2) (1) và (2) lập thành 1 hệ phương trình như sau: $\ 2A=B+x $ $\8(A+x+1)=9(B+x+2) $ Giải hệ trên ta suy ra: $\ 5B=3x-10 $ Hay là $\ 5 \sqrt{(2-x)(10-x)}=3x-10 $ PT này quy về phương trình bậc 2,và cuối cùng tìm được thêm 1 nghiệm nữa là: $\ x = \frac{15+5 \sqrt{5}}{2} $ và $\ x=1 $ (ban đầu) Các bạn hãy thử luyện tập bằng 1 vài bài dưới đây: 1) Giải phương trình: $\sqrt[3]{x^2-1}+x= \sqrt{x^3-2} $ 2) Giải phương trình: $\ 2 \sqrt{x^3-7}- \sqrt[3]{x^2+4}=0 $ 3) Giải phương trình: $\sqrt[3]{x^2-1}+ \sqrt{3x^3-2}=3x-2 $ 4)Giải phương trình: $\sqrt[3]{x^2+4}= \sqrt{x-1}+2x-3 $ Đây chỉ là một bài viết có tính giới thiệu 1 phương pháp có lẽ là khá lạ với các bạn,hy vọng nó sẽ giúp ích ít nhiều cho các bạn trong việc mở khóa các phương trình chứa căn thức. Kummer __________________ Sáng trưa chiều lo lắng biết bao điều, biết vâng lời và lắng nghe em nhiều, thế mới là con ma được thương yêu. thay đổi nội dung bởi: ma 29, 20-01-2009 lúc 07:52 AM Lý do: Tự động gộp bài