[Highschoolmath]

Ta xét biểu thức:
$p=x^2+y^2 $(*)
Để các nghiệm của (*) không bị hoán vị, mỗi cặp $(x,y) $ thõa mãn $(*) $, ta sẽ ngầm hiểu $x>y $. Trong các cặp $(x,y) $ như vậy, ta xét cặp $(a,b) $ mà ở đó $b=miny $, và ta giả sử cũng có một cặp $(c,d) $ nào khác thõa mãn (*), ngay lập tức, ta có tính chất $a>c>d>b $.Bây giờ, ta lại có tiếp $p^2=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 $, đây là một phương trình Pitagore, nên tồn tại hai số tự nhiên $m>n $ để:
$p=m^2+n^2 (1),ac+bd=2mn (2),ad-bc=m^2-n^2 (3) $
Từ (3) suy ra:
Nếu $ad>m^2 \Rightarrow bc>n^2 \Rightarrow 2p^2=(a^2+d^2)+(c^2+d^2)>2(m^2+n^2) $(Vô lý)
Nếu $ad<m^2 \Rightarrow b^2<bc<n^2 \Rightarrow b<n $, vậy rõ ràng $(m,n) $ là một bộ khác thõa mãn (*) và có $n<b $(Mâu thuẫn với giả thuyết $b=miny $).Như vậy $(a,b) $ là bộ duy nhất
PS:Chả biết có đúng không nữa, vừa mới nghĩ ra :-ss
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]