[leviethai]

Nguyên văn bởi daylight

Lời giải cho bài 3:

ta có $S_{(AB)}:H \mapsto H_3,d \mapsto d_c $. Cho nên $H_3 \in d_c. $ tương tự $H_2 \in d_b,H_1 \in d_a. $

Mặt khác $S_{(AB)}: d_c \mapsto d $ (phép đối xứng trục đối hợp)
và $S_{(BC)}: d \mapsto d_a. $ Như vậy

$S_{(BC)} \circ S_{(AB)}=R_{[B,2(BA,BC)]}: d_c \mapsto d_a \Rightarrow \overline{(d_c,d_a)}=2\overline{(BA,BC)} \pmod{\pi} $

Gọi giao điểm của $d_a $ và $d_c $ là $M $. Ta có:

$\overline{(CH_3,CH_1)}=2\overline{(CH,CB)}=2[ \frac{\pi}{2}-\overline{(BA,BC)}]=2\overline{(BA,BC)} \pmod{\pi} $

như vậy thì $MCH_3H_1 $ nằm nội tiếp suy ra M nằm trên $(ABC). $

Ta kẻ $MH_2 $ thì $\overline{(d_c,MH_2)}=\overline{(CH_3,CH_2)}=2 \overline{(AB,AC)} \pmod{\pi}. $

Nhưng $d_b $ lại qua $H_2 $ và tạo với $d_c $ một góc là $2\overline{(AB,AC)} $ ( chứng minh tương tự trên ) như vậy $MH_2 $ trùng với $d_b $,ta có điều phải chứng minh.

Bài 4: Hình thang $ABCD $ ($AB $ song song $CD $) có giao điểm hai đường chéo cắt nhau tại $O $. Khoảng cảnh từ $O $ đến $AD $ và $BC $ là bằng nhau. chứng minh rằng $ABCD $ là hình thang cân.

Lời giải cho bài 4:

Mình xin nêu ngắn gọn. Bài này đơn giản nên cũng không cần vẽ hình đâu.

Gọi $H $ là giao điểm của $AD $ và $BC $.

$HO $ cắt $AB,DC $ lần lượt tại $M,N $.

Ta có bổ đề quen thuộc, đó là $M $ là trung điểm $AB $, $N $ là trung điểm $DC $ (chứng minh dễ dàng bằng Thales, xin được để lại).

Do khoảng cách từ $O $ đến $AD $ và $BC $ là bằng nhau, nên $HO $ là phân giác góc $DHC $.

Kết hợp hai điều trên, dễ dàng suy ra tam giác $HDC $ cân tại $H $, do có đường phân giác cũng là đường trung tuyến. Suy ra $ABCD $ là hình thang cần.

Ta có điều phải chứng minh. $\hfill \Box $

Bài 5. Cho tam giác $ABC $ cân tại $A $, một đường tròn $\omega $ tiếp xúc với $AB,AC $ và cắt $BC $ tại một điểm $K $ (cắt tại hai điểm, lấy điểm nào cũng được). $AK $ cắt $\omega $ tại một điểm $M $ khác $K $. Lấy $P,Q $ đối xứng với $K $ qua $B,C $ tương ứng. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PMQ tiếp xúc với đường tròn $\omega. $

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]