Trích:
Nguyên văn bởi kien10a1  Em giải theo hướng này, có vẻ đơn giản.
Giả sử n bạn nam theo thứ tự từ trái qua phải là $A_{1},A_2...A_n $ và bên trái $A_i $có $b_i $ bạn nữ,$ b_i $ tự nhiên, có thể là 0, không vượt quá n.
Số kẹo $A_i $ nhận là $b_i(n-b_i) $
Dễ thấy $b_1,b_2,...b_n $ là dãy tăng ( không nhất thiết nghiêm ngặt)
Giữa $A_i,A_{i+1} $ có $ b_{i+1}-b_i $ bạn nữ, mỗi bạn này nhận $i(n-i) $ kẹo( có thể không có bạn nữ nào)
Tổng số kẹo các bạn nữ nhận là:
S= $\sum_{1}^{n}( b_{i+1}-b_i)i(n-i) $
Số lần xuất hiện của $b_i $ trong S là $(i-1)(n-i+1)-i(n-i)=2i-1-n $, do vậy S= $\sum_{1}^{n}b_i(2i-1-n) $
Suy ra tổng số kẹo 2n bạn nhận là T=$\sum_{1}^{n}b_i(2i-1-b_i) $
Ta có $(b_i-i)(b_i-(i-1))\geq0 $ do $b_i $ nguyên, suy ra $i(i-1) \geq b_i(2i-1-b_i) $
Do vậy T không vượt quá $0.1+1.2+...+(n-1)n=\frac{n(n^2-1)}{3} $, có đpcm |
Ta phải có S= $\sum_{i=1}^{n-1}( b_{i+1}-b_i)i(n-i) $
Ta biến tổng S như sau:
$S = n\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {\left( {i + 1} \right){b_{i + 1}} - i{b_i}} \right)} - n\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{b_{i + 1}}} - \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {{{\left( {i + 1} \right)}^2}{b_{i + 1}} - {i^2}{b_i}} \right)} + \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {2i + 1} \right){b_{i + 1}}} $
$={n^2}{b_n} - n{b_1} - n\sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{b_{i + 1}}} - {n^2}{b_n} + {b_1} + \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {2i + 1} \right){b_{i + 1}}} $
$= - n\sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} + \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {2i - 1} \right){b_i}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}\left( {2i - 1 - n} \right)} $
Sau khi tính được tổng S như trên thì cách chứng minh tương tự lời giải của em.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]