Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

tuan119 · 07-01-2011, 10:18 PM

- Tiếp theo là đề Giải tích năm 2007

.................................................. .................................................. ......

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2007
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
Môn thi: Giải tích

I. Lý thuyết

Câu 1:
Định nghĩa không gian metric đầy. Cho ví dụ.
Chứng minh không gian metric E là đầy khi và chỉ khi mọi dãy hình cầu đóng thắt dần có điểm chung duy nhất.
Câu 2:
Phát biểu và chứng minh nguyên lý ánh xạ mở cho lớp không gian Banach.
Câu 3:
Phát biểu và chứng minh định lý Riesz về dạng phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert
II. Bài tập

Câu 1:
Giả sử $f:E \to F $ là ánh xạ giữa hai không gian metric. Chứng minh hai phát biểu sau là tương đương:
a) f liên tục trên E;
b) Với mọi $A\subset F,f^{-1}(IntA)\subset int(f^{-1}(A)) $.
Câu 2:
Giả sử $f:E \to F $ là ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian định chuẩn E, F. Chứng minh rằng f là liên tục khi và chỉ khi với mọi dãy ${x_{n}}\subset E,x_{n}\rightarrow 0 $ thì dãy $\left \{ f(x_{n}) \right.\left. \right \} $ là bị chặn trong F.
Câu 3:

Giả sử E $\left \{ \left. e_{n} \right \} \right._{n=1}^{\infty } $ là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert E và $\left \{ \left. \lambda _{n} \right \} \right. $ là dãy số dần tới 0. Chứng minh rằng toán tử tuyến tính $T:E\rightarrow E $ cho bởi: $T(x)=\sum_{n=1}^{\infty }\lambda <x,e_{n}>e_{n} $ là toán tử compact.
Câu 4:
Giả sử $\left \{ f(x_{n}) \right.\left. \right \} $ là dãy giảm các tập đo được với độ đo không âm $\mu $ và f là hàm không âm, khả tích theo độ đo $\mu $ trên $A_{1} $. Đặt $A=\bigcap_{n=1}^{\infty }A_{n} $. Chứng minh rằng $\int_{A}fd\mu=lim_{n\rightarrow \infty}\int_{A_{n}} fd\mu $

07-01-2011, 10:18 PM	#5
tuan119 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Dec 2008 Bài gởi: 993 Thanks: 273 Thanked 666 Times in 422 Posts	- Tiếp theo là đề Giải tích năm 2007 .................................................. .................................................. ...... ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC NĂM 2007 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Môn thi: Giải tích I. Lý thuyết Câu 1: Định nghĩa không gian metric đầy. Cho ví dụ. Chứng minh không gian metric E là đầy khi và chỉ khi mọi dãy hình cầu đóng thắt dần có điểm chung duy nhất. Câu 2: Phát biểu và chứng minh nguyên lý ánh xạ mở cho lớp không gian Banach. Câu 3: Phát biểu và chứng minh định lý Riesz về dạng phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert II. Bài tập Câu 1: Giả sử $f:E \to F $ là ánh xạ giữa hai không gian metric. Chứng minh hai phát biểu sau là tương đương: a) f liên tục trên E; b) Với mọi $A\subset F,f^{-1}(IntA)\subset int(f^{-1}(A)) $. Câu 2: Giả sử $f:E \to F $ là ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian định chuẩn E, F. Chứng minh rằng f là liên tục khi và chỉ khi với mọi dãy ${x_{n}}\subset E,x_{n}\rightarrow 0 $ thì dãy $\left \{ f(x_{n}) \right.\left. \right \} $ là bị chặn trong F. Câu 3: Giả sử E $\left \{ \left. e_{n} \right \} \right._{n=1}^{\infty } $ là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert E và $\left \{ \left. \lambda _{n} \right \} \right. $ là dãy số dần tới 0. Chứng minh rằng toán tử tuyến tính $T:E\rightarrow E $ cho bởi: $T(x)=\sum_{n=1}^{\infty }\lambda <x,e_{n}>e_{n} $ là toán tử compact. Câu 4: Giả sử $\left \{ f(x_{n}) \right.\left. \right \} $ là dãy giảm các tập đo được với độ đo không âm $\mu $ và f là hàm không âm, khả tích theo độ đo $\mu $ trên $A_{1} $. Đặt $A=\bigcap_{n=1}^{\infty }A_{n} $. Chứng minh rằng $\int_{A}fd\mu=lim_{n\rightarrow \infty}\int_{A_{n}} fd\mu $ Nhớ thank, mình ngồi gõ toát mồ hôi nhé, hi __________________ $\bf{T}\mathcal{smile} $__________________________________________________ ________________ thay đổi nội dung bởi: tuan119, 07-01-2011 lúc 10:24 PM