Ở đây ta cần thêm điều kiện $G$ hữu hạn Xét $a\in G$, ta có: $f(a^{-1}f(a))=f(a^{-1}).f(f(a))=f(a)^{-1}.a=(a^{-1}f(a))^{-1}$ Ta chứng minh $g:G\rightarrow G, a\rightarrow a^{-1}f(a)$ là một song ánh. Thật vậy đây là đơn ánh vì $g(a)=g(b)\Leftrightarrow a^{-1}f(a)=b^{-1}f(b) \Leftrightarrow f(ab^{-1})=ab^{-1}\Leftrightarrow ab^{-1}=e\Leftrightarrow a=b$ Do đó $|Img|\ge |G|$ nên $|Img|=|G|$ nên $g$ là song ánh, dẫn tới $g$ là toàn ánh. Do đó $\forall x\in G, \exist a\in G: x=a^{-1}f(a)$ nên $f(x)=f(a^{-1}f(a))=(a^{-1}f(a))^{-1}=x^{-1}$ Và $f(ab)=f(a).f(b)$ nên $ab=ba \forall a,b\in G$, G là nhóm abel [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] |