Trích:
Nguyên văn bởi MATHSCOPE  $\boxed{25}$ [Bắc Ninh] Tìm đa thức hệ số nguyên $P(x)$, biết rằng\[n\mid P\left(2^n\right)\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+.\] |
Với mỗi số nguyên dương $k$ cho trước và số nguyên tố $p$ bất kỳ, theo định lý Fermat bé ta có\[{2^{kp}} \equiv {2^k}\quad \left( {\bmod p} \right).\]Do $P(x)\in\mathbb Z[x]$ nên kéo theo\[0 \equiv P\left( {{2^{kp}}} \right) \equiv P\left( {{2^k}} \right)\quad \left( {\bmod p} \right).\]Từ đó, $P\left( {{2^k}} \right)=0\;\forall\,k\in\mathbb Z^+$, tức là $P(x)$ có vô số nghiệm thực nên kéo theo $P(x)=0\;\forall\,x$.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]