[minhcanh2095]

Mình xin trình bày kết quả các bài toán 1 - 7 trong cuốn "Phương trình hàm" của thầy Nguyễn Văn Mậu theo yêu cầu của bạn Conanvn và Traubo.

$\fbox{1}$. (Phương trình hàm Cauchy). Xác định tất cả các hàm $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $$f(x+y)=f(x)+f(y),\quad \forall x,y \in \mathbb{R} \quad \quad \quad (1)$$

Lời giải : Từ (1) suy ra được $f(0)=0$ và $f(-x)=-f(x), \forall x \in \mathbb{R} \quad \quad (1.1)$.
Với $y=x$ thì $f(2x)=2f(x), \forall x \in \mathbb{R} \quad \quad (1.2)$.
Giả sử với $k$ nguyên dương nào đó ta có $f(k)=kf(x)$.
Khi đó $f((k+1)x)=f(kx+x)=f(kx)+f(x)=kf(x)+f(x)=(k+1)f(x) $.
Vậy $f(nx)=nf(x), \forall x \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N^{*}}$
Từ đó do (1.1) nên ta có $f(mx)=mf(x), \forall m \in \mathbb{Z}, \forall x \in \mathbb{R} \quad \quad (1.3)$.
Từ (1.2) ta có $$f(x) = 2f\left( {\frac{x}{2}} \right) = {2^2}.f\left( {\frac{x}{{{2^2}}}} \right) = \ldots = {2^n}.f\left( {\frac{x}{{{2^n}}}} \right), \quad \forall x \in \mathbb{R},\forall n \in \mathbb{N^{*}}$$
Suy ra $$f\left( {\frac{x}{{{2^n}}}} \right) = \frac{1}{{{2^n}}}.f(x),\forall x \in \mathbb{R} \quad \quad (1.4)$$
Từ (1.3) và (1.4) ta có $$f\left( {\frac{m}{{{2^n}}}} \right) = \frac{m}{{{2^n}}}.f(1),\forall m \in \mathbb{Z},\forall n \in \mathbb{N^{*}}$$
Từ đó sử dụng tính liên tục của hàm $f$ suy ra $f(x) = x.f(1), \forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thấy thỏa mãn.
Kết luận : $f(x) = ax, \forall x \in \mathbb{R}$ với $a=f(1)$.
Chú ý: Có thể thay điều liên tục trên $\mathbb{R}$ bởi điều kiện liên tục tại một điểm $x_0$ tùy ý thuộc $\mathbb{R}$.

$\fbox{2}$. Xác định các hàm $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $$f(x+y)=f(x).f(y), \quad \forall x,y \in \mathbb{R} \quad \quad (2)$$.

Lời giải : Dễ thấy rằng hàm $f(x)=0,\forall x \in \mathbb{R}$ thỏa mãn bài toán. Giả sử tồn tại $x_0 \in \mathbb{R}$ sao cho $f(x_0) \ne 0$, khi đó $$f({x_0}) = f(x + ({x_0} - x)) = f(x).f(x - {x_0}) \ne 0, \forall x \in \mathbb{R} \\ \Rightarrow f(x) \ne 0,\forall x \in \mathbb{R}$$
Hơn nữa, ta có $f(x) = f\left( {\frac{x}{2} + \frac{x}{2}} \right) = {\left[ {f\left( {\frac{x}{2}} \right)} \right]^2}$ nên ta có $f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
Đặt $\ln{f(x)}=g(x)$ thì $g(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $$g(x + y) = \ln f(x + y) = \ln f(x).f(y) = \ln f(x) + \ln f(y) = g(x) + g(y), \forall x, y \in \mathbb{R}$$
Vậy $g(x)$ thỏa mãn các điều kiện của phương trình hàm Cauchy nên $g(x)=bx, \forall x \in \mathbb{R}$ với $b$ túy ý.
Từ đó $f(x)=e^{g(x)}=e^{bx}=a^x$ với $a=e^b >0$ tùy ý.
Kết luận $f(x)=0, \forall x \in \mathbb{R}$ hoặc $f(x)=a^x, \forall \in \mathbb{R} \quad (a>0)$.

$\fbox{3}$. Xác định các hàm $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $$\left\{ \begin{array}{l}
f(x - y) = \frac{{f(x)}}{{f(y)}},\forall x,y \in \mathbb{R}\\
f(x) \ne 0,\forall x \in \mathbb{R}
\end{array} \right. \quad \quad (3)$$

Lời giải : Đặt $x-y=z$ thì $x=y+z$ và (3) trở thành $$\left\{ \begin{array}{l}
f(z) = \frac{{f(y + z)}}{{f(y)}},\forall y,z \in \mathbb{R} \\
f(x) \ne 0,\forall x \in \mathbb{R}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f(y + z) = f(y).f(z),\forall y,z \in \mathbb{R} \\
f(x) \ne 0,\forall x \in \mathbb{R}
\end{array} \right.$$
Từ kết quả bài 2 và do $f(x) \ne 0, \forall x \in \mathbb{R}$ ta có $f(x)=a^x, \forall x \in \mathbb{R}$ và $a>0$ tùy ý.

$\fbox{4}$. Xác định các hàm $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \{ 0\}$ thỏa mãn điều kiện $$f(xy)=f(x).f(y), \forall x,y \in \mathbb{R} \quad \quad (4)$$

Lời giải : Cho $y=1$ thì $f(x)=f(x).f(1)$. Từ đó nếu $f(1) \ne 1$ thì ta có một hàm thỏa mãn bài toán là $f(x) = 0, \forall x \in \mathbb{R}\backslash \{ 0\}$
Xét $f(1)=1$. Khi đó $1 = f(1) = f\left( {x.\frac{1}{x}} \right) = f(x).f\left( {\frac{1}{x}} \right),\forall x \ne 0$. Suy ra $f(x) \ne 0, \forall x \ne 0$ và $f(x^2)=f(x).f(x)=[f(x)]^2 >0, \forall x \ne 0$.
a) Nếu $x>0, y>0$ thì đặt $x=e^u,y=e^v, f(e^x)=g(x)$. Khi đó $$g(u + v) = f({e^{u + v}}) = f({e^u}.{e^v}) = f({e^u}).f({e^v}) = g(u).g(v),\forall u,v \in \mathbb{R}$$
Từ đó $g(u)=a^u,\forall u \in \mathbb{R} \quad (a>0)$. Từ đó $$f(x) = f({e^u}) = g(u) = {a^u} = {a^{\ln x}} = {({e^{\ln a}})^{\ln x}} = {x^\alpha } \quad (\alpha = \ln{a}), \forall x >0$$
b) Nếu $x<0,y<0$. Do $[f(x)]^2=f(x^2), \forall x \ne 0$ nên $$f({x^2}).f({y^2}) = {[f(x)]^2}.{[f(y)]^2} = {[f(xy)]^2} = f({x^2}.{y^2}), \forall x,y \ne 0$$
Vậy theo a) thì $${[f(x)]^2} = f({x^2}) = {({x^2})^\alpha } = {\left( {{{\left| x \right|}^\alpha }} \right)^2},\forall x < 0$$ với $\alpha$ tùy ý thuộc $\mathbb{R}$
Từ đó do $f$ liên tục trên $\mathbb{R}\backslash \{ 0\}$ nên $$\left[ \begin{array}{l}
f(x) = {\left| x \right|^\alpha },\forall x < 0\\
f(x) = - {\left| x \right|^\alpha },\forall x < 0
\end{array} \right.$$
Kết hợp các kết quả của a) và b) ta được kết quả : Các hàm thỏa mãn (4) là một trong các hàm :
1. $f(x)=0, \forall x \in \mathbb{R} \backslash \{0 \}$.
2. $f(x) = {\left| x \right|^\alpha }, \forall x \in \mathbb{R} \backslash \{0 \}$ với $\alpha$ tùy ý
3. $\left[ \begin{array}{l}
f(x) = {x^\alpha },\forall x > 0\\
f(x) = - {\left| x \right|^\alpha },\forall x < 0
\end{array} \right.$

$\fbox{5}$. Xác định các hàm $f$ liên tục trên $\mathbb{R} \backslash \{0 \}$ thỏa mãn điều kiện $$f(xy) = f(x) + f(y),\forall x,y \in \mathbb{R} \backslash \{0 \} \quad (5)$$

Lời giải : Xét hai trường hợp :
a) $x>0,y>0$. Khi đó đặt $x=e^u,y=e^v$ và $f(e^x)=g(x)$ thì $$g(u + v) = f({e^{u + v}}) = f({e^u}.{e^v}) = f({e^u}) + f({e^v}) = g(u) + g(v),\forall u,v \in \mathbb{R}$$
Vậy $g(u)=au,\forall u \in \mathbb{R}$, suy ra $f(x) = a\ln{x},\forall x>0$.
b) $x<0,y<0$. Khi đó cho $y=x$ trong (5) ta được $$f({x^2}) = 2f(x) \\ \Rightarrow f({x^2}) + f({y^2}) = 2[f(x) + f(y)] = 2f(xy) = f({x^2}.{y^2})$$
Từ đó theo a) thì $$f(x) = \frac{1}{2}f({x^2}) = \frac{1}{2}a\ln {x^2} = a\ln ( - x),\forall x < 0$$
Kết luận : $f(x) = a\ln \left| x \right|,\forall x \ne 0$

$\fbox{6}$. Xác định các hàm $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $$f(xy)=f(x)-f(y), \forall x,y \in \mathbb{R} \quad \quad (6)$$

Lời giải : Cho $x=y=0$ thì $f(0)=0$. Từ đó với $x \in \mathbb{R}$ và $y=0$ thì $f(x)=0$. Thử lại thấy thỏa mãn.

$\fbox{7}$. Xác định các hàm liên tục trên $(0 ; +\infty)$ thỏa mãn điều kiện $$f\left( {\frac{x}{y}} \right) = f(x) - f(y),\forall x,y > 0 \quad \quad (7)$$

Lời giải : Đặt $\dfrac{x}{y}=t>0$ thì $x=ty$ và $$f(t) = f(ty) - f(y) \Leftrightarrow f(ty) = f(t) + f(y)$$
Suy ra $f(x)=a\ln{x}, \forall x>0$, $a$ tùy ý.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]