Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Tổng hợp các bài toán PT - HPT trong đề thi HSG 2010

**huynhcongbang** · 09-01-2011, 02:34 AM

Trong file lời giải trên mình xin đính chính lại lời giải của đề HSG Sào Nam, Quảng Nam như sau:

Giải phương trình: $2010^x (\sqrt{x^2+1}-x)=1 $.
Ta có:
$2010^x (\sqrt{x^2+1}-x)=1 \Leftrightarrow 2010^x=\sqrt{x^2+1}+x \Leftrightarrow 2010^{-x}=\sqrt{x^2+1}-x $
Trừ từng vế hai PT vừa biến đổi trên để khử căn, ta được:
$2010^x-2010^{-x} = 2x $.
Xét hàm số $f(x) = 2010^x-2010^{-x} -2x $, ta có:
$f'(x) = (2010^x+2010^{-x}). \ln{2010} -2 >0 $ nên là hàm đồng biến, mà $f(0)=0 $ nên PT $f(x)=0 $ có nghiệm duy nhất là $x=0 $.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=0 $.

09-01-2011, 02:34 AM	#3
huynhcongbang Administrator Tham gia ngày: Feb 2009 Đến từ: Ho Chi Minh City Bài gởi: 2,413 Thanks: 2,165 Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts	Trong file lời giải trên mình xin đính chính lại lời giải của đề HSG Sào Nam, Quảng Nam như sau: Giải phương trình: $2010^x (\sqrt{x^2+1}-x)=1 $. Ta có: $2010^x (\sqrt{x^2+1}-x)=1 \Leftrightarrow 2010^x=\sqrt{x^2+1}+x \Leftrightarrow 2010^{-x}=\sqrt{x^2+1}-x $ Trừ từng vế hai PT vừa biến đổi trên để khử căn, ta được: $2010^x-2010^{-x} = 2x $. Xét hàm số $f(x) = 2010^x-2010^{-x} -2x $, ta có: $f'(x) = (2010^x+2010^{-x}). \ln{2010} -2 >0 $ nên là hàm đồng biến, mà $f(0)=0 $ nên PT $f(x)=0 $ có nghiệm duy nhất là $x=0 $. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là $x=0 $. Lời giải trong file trên chưa chứng minh được $f'(x)> 0, x \in (-\frac{1}{2}, 0) $.