[sang89]

Nguyên văn bởi daylight

1/ Cho $\Delta ABC $ có các đường cao $AA_1,BB_1,CC_1 $. Một điểm $M $ bất kì trong mặt phẳng,$A',B',C' $ là hình chiếu của $M $ trên $AA_1,BB_1,CC_1 $. Chứng minh rằng $\Delta ABC \sim \Delta A'B'C' $.

Nguyên văn bởi liverpool29

1) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.
$\widehat{HA'M}=\widehat{HB'M}=90 \rightarrow $ A'B'MH nội tiếp.
Nên: $\widehat{A'B'M}+\widehat{A'HM}=180 (1) $
Ta có:
$\widehat{HA'M}+\widehat{HC'M}=2.90=180 \rightarrow $ A'MC'H nội tiếp.
Nên: $\widehat{A'HM}=\widehat{A'C'M}(2) $
Từ (1), (2) suy ra $\widehat{A'B'M}+\widehat{A'C'M}=180 $.
Suy ra: $\widehat{B'A'C'}+\widehat{B'MC'}=180 $
Mà:$\widehat{B'MC'}+\widehat{B'HC'}=180 $ (do B'HC'M nội tiếp)
Suy ra: $\widehat{B'A'C'}=\widehat{B'HC'}=\widehat{BAC} $(cùng phụ với $\widehat{C_1HB_1} $)(3)
$\widehat{ABC}=\widehat{CHA_1}=\widehat{A'MC'}=\wid ehat{A'B'C'} $(do A'B'MC' nội tiếp; HA'MC' nội tiếp) (4)
Từ (3),(4) suy ra $\Delta ABC \sim \Delta A'B'C' $.

Chỉ cần vài dòng
$\widehat{A'B'C'} = \widehat{A_1HC} = \widehat{B} $ (do $A', B', C', H, M $ đồng viên).

Do đó tam giác ABC và A'B'C' đồng dạng.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]