Anh Lữ xem dùm cách làm này của em có được không anh
*Trước tiên chứng minh $a_n>1$ với mọi $n>1$ (A) theo quy nạp:
với $n=2$ ta thấy $a_2=\frac{3}{2}>1$
giả sử đã có $a_n>1(n>1)$, theo Bernulli có: $ 2^{a_n} > 2.a_n+1-a_n=a_n+1$ ($a_n>1$)
suy ra $a_{n+1}>3-\frac{a_n+2}{a_n+1}=3-1-\frac{1}{a_n+1}=2-\frac{1}{a_n+1}>1$ với mọi $a_n>1$, (A) được chứng minh
*Chứng minh $(a_n)$ là dãy tăng
Xét $f(x)=3-\frac{a_n+2}{2^{a_n}} \forall x>1$
$f'(x)=\frac{2^{x}.(xln2+2ln2-1)}{(2^{x})^{2}}>0 \forall x>1$ ( do $e>2$)
Mặt khác $a_2>a_1$ suy ra $(a_n)$ là dãy tăng
*Chứng minh $(a_n)$ bị chặn trên bởi $2$
với $n=2$ ta thấy $a_n=\frac{3}{2}<2$
giả sử đã có $a_n<2 \forall n>1$
xét $f(x)=3-\frac{a_n+2}{2^{a_n}}$ , lập bảng biến thiên suy ra $\frac{3}{2}<f(x)<2 \forall 1<x<2$, tới đây suy ra $a_{n+1}=f(a_n)<2 \forall 1<a_n<2$
suy ra $(a_n)$ bị chặn trên bởi $2$
$(a_n)$ là dãy tăng và bị chặn trên nên hội tụ, đặt $lima_n=b$, chuyển về giới hạn ta có: $b=3-\frac{b+2}{2^{b}}$ (1)
Xét $g(b)=b-3+\frac{b+2}{2^{b}} \forall 1<b<2$, pt(1) viết dưới dạng $g(b)=0$
$g'(b)=1+\frac{2^{b}.(1-(b+2)ln2}{(2^{b})^{2}}=\frac{2^{b}+1-(b+2)ln2}{2^{b}} > \frac{b+1+1-(b+2)ln2}{2^{b}}=\frac{(b+2)(1-ln2)}{2^{b}}>0 \forall 1<b<2$($2^{b}>b+1$ theo bernulli)
suy ra $g$ là hàm tăng, suy ra pt $g(b)=0$ có nhiều nhất một nghiệm, mặt khác ta thấy $b=2$ thỏa nên $b=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình $g(b)=0$
Vậy $lima_n=2$
p/s:gõ latex xong mờ hết cả mắt
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]