Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

**novae** · 08-10-2010, 07:14 PM

Gọi $H $ là trực tâm, $D,E,F $ là chân các đường cao, $M,N,P $ là giao điểm của các đường cao với $(ABC) $

Ta có $DH=DM,EH=EN,FH=FP $, suy ra
$\frac{AM}{AD}=1+\frac{HD}{AD}=1+\frac{S_{HBC}}{S_{ ABC}} $
tương tự, $\frac{BN}{BE}=1+\frac{S_{HCA}}{S_{ABC}}, \frac{CP}{CF}=1+\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}} $
cộng theo vế 3 đẳng thức trên, ta có $\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CP}{CF}=4 $

Nếu $MD=NE=PF $ thì ta có $HD=HE=HF $, hay $H $ là tâm nội tiếp $\Delta ABC $, suy ra $\Delta ABC $ đều

08-10-2010, 07:14 PM	#2
novae +Thành Viên Danh Dự+ Tham gia ngày: Jul 2010 Đến từ: Event horizon Bài gởi: 2,453 Thanks: 53 Thanked 3,057 Times in 1,288 Posts	Gọi $H $ là trực tâm, $D,E,F $ là chân các đường cao, $M,N,P $ là giao điểm của các đường cao với $(ABC) $ Ta có $DH=DM,EH=EN,FH=FP $, suy ra $\frac{AM}{AD}=1+\frac{HD}{AD}=1+\frac{S_{HBC}}{S_{ ABC}} $ tương tự, $\frac{BN}{BE}=1+\frac{S_{HCA}}{S_{ABC}}, \frac{CP}{CF}=1+\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}} $ cộng theo vế 3 đẳng thức trên, ta có $\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CP}{CF}=4 $ Nếu $MD=NE=PF $ thì ta có $HD=HE=HF $, hay $H $ là tâm nội tiếp $\Delta ABC $, suy ra $\Delta ABC $ đều __________________ M.