Trích:
Nguyên văn bởi asimothat  bài 3 Cho n,k là 2 số nguyên dương thỏa mãn $n \ge k $ và S là tập hợp gồm n điểm trong mặt phẳng thảo mãn 2 tính chất
1) không có 3 điẻm nào của S thăng hàng
2) với mọi điểm P thuộc S có không ít hơn k điểm của S cách đều P
chứng minh $k < \frac{1}{2} +\sqrt{2n} $ |
Bài này là IMO 1989
Problem A3
Let n and k be positive integers, and let S be a set of n points in the plane such that no three points of S are collinear, and for any point P of S there are at least k points of S equidistant from P. Prove that k < 1/2 + √(2n).
Solution
Three variants on a theme, all kindly supplied by others (I spent 2 hours failing to solve it). My favorite first.
By Eli Bachmutsky
Consider the pairs P, {A, B}, where P, A, B are points of S, and P lies on the perpendicular bisector of AB. There are at least n k(k - 1)/2 such pairs, because for each point P, there are at least k points equidistant from P and hence at least k(k - 1)/2 pairs of points equidistant from P.
If k ≥ 1/2 + √(2n), then k(k - 1) ≥ 2n - 1/4 > 2(n - 1), and so there are more than n(n - 1) pairs P, {A, B}. But there are only n(n - 1)/2 possible pairs {A, B}, so for some {A0, B0} we must be able to find at least 3 points P on the perpendicular bisector of A0B0. But these points are collinear, contradicting the assumption in the question.
http://www.kalva.demon.co.uk/imo/isoln/isoln893.html Đây là cách giải khác nữa này. Còn bài 2 của cậu đánh sai kìa, 1 bên a 1 bên b chứ, sao lại cả 2 vế đều là a
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]