[navibol]

Của tớ cũng không kém, hic

• $x=y=0$ suy ra $f(0)=0$ hoặc $f(0)=2$

• $f(0)=2$ thế vào ta thấy không thỏa mãn nên $f(0)=0$

• Thế $x=1, y=-1$ thì ta có $f(1)=3$ hoặc $f(-1)=0$

• Nếu: $ f(1)=3 $

• Thay: $x=x-1,y=1$ thì ta có được $f(x)=3x $

• Nếu: $f(-1)=0$

• Thay $x=-1,y=-1$ thì ta có được $f(-2)=f(1) $

• Lại thay: $x=-2,y=1$ thì ta lại có $f(-1)=f(-2)(3-f(1))+(-1)f(1) $

• Tới đây ta suy ra $f(1)=0$ hoặc $f(1)=2$

• Nếu $f(1)=0$

• Ta cho $y=-1$ thì có được hàm $f(x-1)=f(-x)$

• Tiếp tục thế $x=x-1,y=1$ suy ra $f(x)=3f(x-1)=3f(-x)$

• Như vậy ta sẽ có $ f(x)=3f(-x)$ mà $ f(x)=3f(-x)=3(3f(-(-x)))=9f(x)$

• Do đó $f(x)=0$

• Nếu $f(1)=2$

• Thay:$y=-1$ ta sẽ được $f(x-1)=f(-x)$

• Cho $x=x-1,y=1$ ta sẽ được $f(x)=f(x-1)+2x=f(-x)+2x$ nên ta sẽ có được $f(x)=f(-x)+2x$

• Tiếp tục ta thế $x=x,y=-x$ có được $f(0)+f(x)f(-x)=f(-x^2)+(x+1)f(-x)+(-x+1)f(x)$

• Suy ra: $f(x)(f(x)-2x)=(f(x^2)-2x^2)+(x+1)(f(x)-2x)+(-x+1)f(x)$

• Từ đó ta có: $f(x)^2-2xf(x)=f(x^2)-2x^2+xf(x)-2x^2+f(x)-2x-xf(x)+f(x)$

• Tương đương: $f(x)^2=f(x^2)-4x^2+2f(x)+2xf(x)-2x$

• Cho: $y=x$ ta có điều sau $f(2x)+{f(x)}^2=f(x^2)+2(x+1)f(x)$

• Điều đó tương đương $f(2x)+(f(x^2)-4x^2+2f(x)+2xf(x)-2x)=f(x^2)+2(x+1)f(x)$

• Nên: $f(2x)=4x^2+2x$

• Hay:$f(x)=x^2+x$

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]