| Đặt $g(t):=\dfrac{1+\sqrt{4t-3}}{2} $ với $t \geq 1 $ và đặt $g_{k} (t) = g(g_{k-1}(t)) $ với mọi $k $. Ta có $g^2(t)-g(t)+1=t $. Xét một số thực $t \geq 1 $ nào đó, theo giả thiết ta có $f(t) = f(g(t)) = f(g_{2}(t)) = ... = f(g_{k}(t)) $ với mọi $k $. Mặt khác, ta dễ dàng chứng minh được $1 \leq g_{k+1}(t) \leq g_{k}(t) $ với mọi $k $, dẫn đến tồn tại $\lim_{k \to +\infty} g_{k}(t) $, hơn nữa có tính được giới hạn này bằng $1 $. Do f liên tục nên suy ra $f(t) = f(1) $ với mọi $t \geq 1 $. Với $t<1 $, ta lại xét $h(t) = t^2-t+1 $, và $h_{k}(t) = h_{k-1}(t) $, dễ thấy $\lim_{k \to \infty} h_{k}(t) = 1 $ nếu $t=0 $ và $= +\infty $ với $0 \neq t < 1 $ nên tồn tại $k $ để $h_{k} (t) \geq 1 $. Từ giả thiết ta có $f(t) = f(1) $ với mọi $t < 1 $. Tóm lại $f $ hằng là hàm duy nhất thỏa đề.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] |