Xem bài viết đơn
Old 09-04-2011, 03:45 PM   #4
huynhcongbang
Administrator

 
huynhcongbang's Avatar
 
Tham gia ngày: Feb 2009
Đến từ: Ho Chi Minh City
Bài gởi: 2,413
Thanks: 2,165
Thanked 4,188 Times in 1,381 Posts
Gửi tin nhắn qua Yahoo chát tới huynhcongbang
Mình ủng hộ bài 2 trước:
Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau:
* Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I) có tiếp điểm của (I) lên AB, AC lần lượt là E, F. Đường thẳng qua B, song song với AC cắt EF tại K; CK cắt AB tại G. Chứng minh rằng tam giác AGI vuông tại I.

Chứng minh:
Do BK // AC nên tam giác BKF cân tại B, suy ra: $BK=BF = p-b $.



Theo định lí Thales thì:
$\frac{BG}{AG}=\frac{BK}{AC}=\frac{p-b}{b} \Rightarrow \frac{AB}{AG} = \frac{p}{b}\Rightarrow AG = \frac{bc}{p} $
Mà $AF=p-a $ nên $\frac{AF}{AG}=\frac{p(p-a)}{bc} $.
Ta cũng có: $AI = \frac{AF}{\sin \frac{A}{2}}, AH = AF. \sin \frac{A}{2} $.
Do đó: $\frac{AH}{AI}=\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{1-\cos A}{2} = \frac{1-\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}}{2} = \frac{p(p-a)}{bc} $
Suy ra: $\frac{AF}{AG} =\frac{AH}{AI} $.
Tức là AGI vuông tại I.
Bổ đề được chứng minh.

Trở lại bài toán:



1/ Gọi M, N lần lượt là giao điểm của QE với AB và PF với AC.
Theo bổ đề trên, ta thấy rằng tam giác OMA và ONA lần lượt vuông tại O nên các điểm M, N cố định.
2/ Đặt $AB=AC=a, BP=x, CQ=y $. Chu vi của tam giác APQ là $2(a+x+y) $.
Theo bổ đề trên, ta tính được:
$PM =AP - \frac{2AP.PQ}{AP+AQ+PQ}=\frac{(a+x)x}{a+x+y} $ và
$QN =AQ - \frac{2AQ.PQ}{AP+AQ+PQ}=\frac{(a+y)y}{a+x+y} $.
Ta sẽ chứng minh rằng $\frac{xy(a+x)(a+y)}{(a+x+y)^2} $ không đổi.
Thật vậy:
Diện tích của tam giác APQ cùng bằng:
$R(AP+AQ+PQ) = \sin \widehat{BAC}.AP.AQ \Leftrightarrow \frac{(a+x)(a+y)}{a+x+y}=\frac{R}{ \sin \widehat{BAC}} $.
Tức là tỉ số: $\frac{(a+x)(a+y)}{a+x+y} = k $ không đổi, với $k=\frac{R}{ \sin \widehat{BAC}} $
Từ $(a+x)(a+y)=k(a+x+y) \Leftrightarrow a(a+x+y)+xy = k(a+x+y) \Leftrightarrow a+ \frac{xy}{a+x+y} = k $, suy ra tỉ số $\frac{xy}{a+x+y} $ cũng không đổi.
Ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 

thay đổi nội dung bởi: huynhcongbang, 09-04-2011 lúc 04:10 PM
huynhcongbang is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 4 Users Say Thank You to huynhcongbang For This Useful Post:
babylong (09-04-2011), buikhacduong (09-04-2011), n.v.thanh (09-04-2011), nhox12764 (09-04-2011)
 
[page compression: 10.66 k/11.78 k (9.52%)]