Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

zinxinh · 26-01-2018, 05:32 PM

Đề bài: Xét các số phức $z=a+bi$, $(a,b\in\mathbb{R})$ thỏa mãn $|z-4-3i|=\sqrt{5}$. Tính $P=a+b$ khi $|z+1-3i|+|z-1+i|$ đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải:

Đặt $x=z-4-3i$,$|x|=\sqrt{5}$=> $z=x+4+3i,P=|z+1-3i|+|z-1+i|=|x+5|+|x+3+4i|$.

Theo công thức hình bình hành
$$(|x+5|+|x+3+4i|)^{2}\leq 2(|x+5|^{2}+|x+3+4i|^{2})=|x+5-x-3-4i|^{2}+|x+5+x+3+4i|^{2}=20+4|x+4+2i|^{2} $$ mà $|x+4+2i|\leq |x|+|4+2i|=3\sqrt{5}$ => $P$ lớn nhất là $10\sqrt{2}$ khi và chỉ khi $x=k(2+i)$ trong đó $k$ không âm mà $|x|=\sqrt{5}$=>$x=2+i=>z=5+5i=>a+b=10$.

26-01-2018, 05:32 PM	#1
zinxinh +Thành Viên+ Tham gia ngày: Jan 2009 Bài gởi: 214 Thanks: 65 Thanked 70 Times in 45 Posts	Bài số phức trong đề minh họa Đề bài: Xét các số phức $z=a+bi$, $(a,b\in\mathbb{R})$ thỏa mãn $\|z-4-3i\|=\sqrt{5}$. Tính $P=a+b$ khi $\|z+1-3i\|+\|z-1+i\|$ đạt giá trị lớn nhất. Lời giải: Đặt $x=z-4-3i$,$\|x\|=\sqrt{5}$=> $z=x+4+3i,P=\|z+1-3i\|+\|z-1+i\|=\|x+5\|+\|x+3+4i\|$. Theo công thức hình bình hành $$(\|x+5\|+\|x+3+4i\|)^{2}\leq 2(\|x+5\|^{2}+\|x+3+4i\|^{2})=\|x+5-x-3-4i\|^{2}+\|x+5+x+3+4i\|^{2}=20+4\|x+4+2i\|^{2} $$ mà $\|x+4+2i\|\leq \|x\|+\|4+2i\|=3\sqrt{5}$ => $P$ lớn nhất là $10\sqrt{2}$ khi và chỉ khi $x=k(2+i)$ trong đó $k$ không âm mà $\|x\|=\sqrt{5}$=>$x=2+i=>z=5+5i=>a+b=10$.