Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn - Việt Nam TST 2016

DaiToan · 27-03-2016, 07:58 PM

Bài 6. Cho các số thực phân biệt $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{16}$. Với mỗi đa thức hệ số thực $P(x)$; đặt $V(P)=P(\alpha_1)+P(\alpha_2)+...+P(\alpha_{16}).$
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất đa thức $Q(x)$ bậc 8 có hệ số $x^8$ bằng $1$ thỏa mãn
i) $V(QP)=0$ với mọi đa thức $P$ có bậc bé hơn $8.$
ii) $Q(x)$ có $8$ nghiệm thực (tính cả bội).[/QUOTE]

Sự tồn tại có lẽ rất khó khăn, tuy nhiên chứng minh sự duy nhất của đa thức Q(x) lại khá đơn giản (Cái này chắc chỉ được 1 điểm

)
Chú ý là theo định nghĩa của V(P) ta có: V(P1-P2)=V(P1)-V(P2)
Giả sử tồn tại hai đa thức Q1, Q2 thỏa mãn. Đặt H(x)=Q1(x)-Q2(x).
Theo (i) ta có V((Q1-Q2).P)=V(Q1.P)-V(Q2.P)=0 (*), nên H(x) cũng thỏa mãn.
Chú ý rằng bậc của H(x) nhỏ hơn 8. Trong (*) chọn P(x)=H(x) ta được: V(H(x).H(x))=0, suy ra H(x)=0, tức là Q1(x)=Q2(x) (đpcm).

27-03-2016, 07:58 PM	#18
DaiToan +Thành Viên+ Tham gia ngày: Oct 2010 Đến từ: THPT Chuyên Vĩnh Phúc Bài gởi: 280 Thanks: 29 Thanked 361 Times in 123 Posts	Bài 6. Cho các số thực phân biệt $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_{16}$. Với mỗi đa thức hệ số thực $P(x)$; đặt $V(P)=P(\alpha_1)+P(\alpha_2)+...+P(\alpha_{16}).$ Chứng minh rằng tồn tại duy nhất đa thức $Q(x)$ bậc 8 có hệ số $x^8$ bằng $1$ thỏa mãn i) $V(QP)=0$ với mọi đa thức $P$ có bậc bé hơn $8.$ ii) $Q(x)$ có $8$ nghiệm thực (tính cả bội).[/QUOTE] Sự tồn tại có lẽ rất khó khăn, tuy nhiên chứng minh sự duy nhất của đa thức Q(x) lại khá đơn giản (Cái này chắc chỉ được 1 điểm ) Chú ý là theo định nghĩa của V(P) ta có: V(P1-P2)=V(P1)-V(P2) Giả sử tồn tại hai đa thức Q1, Q2 thỏa mãn. Đặt H(x)=Q1(x)-Q2(x). Theo (i) ta có V((Q1-Q2).P)=V(Q1.P)-V(Q2.P)=0 (), nên H(x) cũng thỏa mãn. Chú ý rằng bậc của H(x) nhỏ hơn 8. Trong () chọn P(x)=H(x) ta được: V(H(x).H(x))=0, suy ra H(x)=0, tức là Q1(x)=Q2(x) (đpcm).