Bài toán vẫn đúng ở cả 2 chiều thuận và đảo:
(1) Nếu $AB=AC$ thì dễ thấy đpcm.
(2) Ta xét trường hợp $AB > AC$, trường hợp còn lại tương tự. Đặt $AB=c, BC=a, CA=b$ với $c > b$.
*Chiều đảo:
Giả sử tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
Gọi $O$ là trung điểm $BC$ và $M$ là trung điểm cung $BC$ chứa $A$. Dễ thấy rằng $MB_1 = MC_1$.
Ta sẽ chứng minh rằng $MB_1 = MA_1$.
Thật vậy, ta có $BA_1 = \frac{a+b-c}{2}$ và $OB = \frac{a}{2}$ nên $OA_1 = \frac{c-b}{2}$. Do đó $4MA_1^2 = a^2+(b-c)^2$.
Đặt $H$ là hình chiếu của $M$ trên đoạn $AB$, đặt $MA = x$, ta có:
$MB^2 - MA^2 = BH^2 - AH^2$ hay $\frac{a^2}{2} - x^2 = c(c-\frac{x}{\sqrt{2}})$. Từ đó ta tính được $MA^2 = \frac{(b-c)^2}{2}$.
Theo định lí cos trong tam giác $MAC_1$ thì:
$MC_1^2 = MA^2+AC_1^2 - 2.MA.AC_1. \cos 45^{\circ} = \frac{(b-c)^2}{2} + \frac{(a+c-b)^2}{4}-2 . \frac{\sqrt{2}}{2}. \frac{a+c-b}{2}. \frac{c-b}{\sqrt{2}}$.
Từ đó, ta có được $MA_1^2 = MC_1^2$ hay $M$ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_1B_1C_1$. Ta có đpcm.
*Chiều thuận:
Tiếp theo, giả sử tâm $M$ của $(A_1B_1C_1)$ thuộc đường tròn $(ABC)$ và không mất tính tổng quát, có thể xét $M$ thuộc cung $BC$ chứa $A$ của $(ABC)$.
Ta có $MB_1 = MC_1$ và theo tính chất tiếp điểm của đường tròn bàng tiếp thì $BC_1 = CB_1$. Bằng biến đổi góc, ta cũng có $\widehat{ABM} = \widehat{ACM}$ nên ta có 2 trường hợp:
(1) $\Delta MB_1C = \Delta MC_1B (c.g.c)$ hoặc
(2) $\widehat{MC_1B} + \widehat{MB_1C}=180^{\circ}$ (không thể xảy ra)
Do đó, $MB=MC$ hay $M$ là trung điểm cung $BC$ chứa $A$ của $(ABC)$.
Đến đây, kẻ $MH, MK$ lần lượt vuông góc với $AB, AC$; theo giả sử thì $H$ thuộc đoạn $AB$ còn $K$ nằm ngoài đoạn $AC$ và theo tính chất đường phân giác, ta có $AH = AK$ hay
$AB - AM . \sin(\frac{180^{\circ} - {A}}{2}) = AC + AM . \sin(\frac{180^{\circ} - {A}}{2})$.
Biến đổi tương đương:
$AB - AC =2 AM. \cos \frac{A}{2}$
$\sin {C} - \sin { B} = 2 \sin \frac{C-B}{2} \cos \frac{A}{2}$.
$\tan \frac{A}{2} = 1$.
$A = 90^{\circ}$.
Ta có đpcm.
Vậy tâm đường tròn $(A_1B_1C_1)$ thuộc $(ABC)$ khi và chỉ khi tam giác $ABC$ vuông.
Tối qua mình tưởng là bài toán có 2 chiều nên làm thử trước chiều dễ, ai dè bài này chỉ có một chiều khó!
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]