Trích:
Nguyên văn bởi Ispectorgadget Bài 9: CMR nếu $a,b\in (0;1]$ thì $$a^{b-a}+b^{a-b}\leq 2$$ |
Giải bài này cho xong để còn tiếp tục
Không mất tính tổng quát, giả sử $0 < b \le a \le 1$
Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli: Vì $0 \le a-b \le 1$ nên $b^{a-b}=(b-1+1)^{a-b} \le 1+(b-1)(a-b)$
$$\Rightarrow a^{b-a}+b^{a-b} \le 1+(b-1)(a-b)+a^{b-a}$$
Do đó ta cần chứng minh: $$a^{b-a}+(b-1)(a-b) \le 1$$
Đặt $t=b-a$ ($-1 \le t \le 0$) thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $a^t-t(a+t-1) \le 1$ (1)
Xét hàm số $f(t)=a^t-t(a+t-1) \Rightarrow f'(t)=t \ln a - a-2t+1$
Phương trình $f'(t)=0$ có nghiệm $t=\dfrac{a-1}{\ln a -2} \ge 0$
Do đó với $-1 \le t \le 0$ thì $f'(t) \ge 0 \Rightarrow f(t)$ nghịch biến.
$\Rightarrow f(t) \le f(0)=1 \Rightarrow a^t-t(a+t-1) \le 1$ ((1) đúng) (đpcm)
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]