Diễn Đàn MathScope - Xem bài viết đơn

99 · 15-09-2012, 01:25 AM

99 giải bài 5 cho có tý không khí

Xét tập hợp $E$ gồm các cặp $(B,f)$ trong đó, $B$ là một tập con của $X$ còn $f\colon B\to Y$ là đơn ánh. Giả sử $X, Y$ đều khác rỗng thì tập $E$ vừa định nghĩa khác rỗng.

Trên $E$ ta xác định một quan hệ thứ tự $\leq$ như sau : $(B_1,f_1)\leq (B_2,f_2)$ nếu $B_1\subset B_2$ và $f_1$ là hạn chế của $f_2$ lên $B_1.$

Dễ thấy $(E,\leq)$ thỏa mãn tính chất : mỗi dây chuyền thì có phần tử chặn trên, nên theo bổ đề Zorn, trong $E$ tồn tại phần tử cực đại, ký hiệu là $(B,f).$ Nếu $B = X$ thì bài toán được giải quyết.

Nếu $B\neq X$ thì $f(B)$ phải bằng $Y,$ nếu không ta có thể xây dựng được cặp $(B',f')\in E$ và "lớn" hơn hẳn $(B,f),$ bằng cách bổ sung vào B một phần tử. Và khi $f(B)=Y,$ ta suy ra $card(X)\geq card(Y)$. Đây cũng là điều phải chứng minh.

15-09-2012, 01:25 AM	#3
99 +Thành Viên+ Tham gia ngày: Nov 2007 Bài gởi: 2,995 Thanks: 537 Thanked 2,429 Times in 1,376 Posts	99 giải bài 5 cho có tý không khí Xét tập hợp $E$ gồm các cặp $(B,f)$ trong đó, $B$ là một tập con của $X$ còn $f\colon B\to Y$ là đơn ánh. Giả sử $X, Y$ đều khác rỗng thì tập $E$ vừa định nghĩa khác rỗng. Trên $E$ ta xác định một quan hệ thứ tự $\leq$ như sau : $(B_1,f_1)\leq (B_2,f_2)$ nếu $B_1\subset B_2$ và $f_1$ là hạn chế của $f_2$ lên $B_1.$ Dễ thấy $(E,\leq)$ thỏa mãn tính chất : mỗi dây chuyền thì có phần tử chặn trên, nên theo bổ đề Zorn, trong $E$ tồn tại phần tử cực đại, ký hiệu là $(B,f).$ Nếu $B = X$ thì bài toán được giải quyết. Nếu $B\neq X$ thì $f(B)$ phải bằng $Y,$ nếu không ta có thể xây dựng được cặp $(B',f')\in E$ và "lớn" hơn hẳn $(B,f),$ bằng cách bổ sung vào B một phần tử. Và khi $f(B)=Y,$ ta suy ra $card(X)\geq card(Y)$. Đây cũng là điều phải chứng minh.