Xem bài viết đơn
Old 12-01-2018, 10:07 AM   #6
nguyentatthu
Super Moderator
 
Tham gia ngày: Nov 2007
Đến từ: BH
Bài gởi: 212
Thanks: 135
Thanked 345 Times in 92 Posts
Trích:
Nguyên văn bởi queen669 View Post
Cho dãy số $\left\{x_n\right\}_{n\in\mathbb Z^+}$ xác định bởi công thức truy hồi $x_1=2$ và
\[{x_{n + 1}} = \sqrt {{x_n} + 8} - \sqrt {{x_n} + 3}\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
  1. Chứng minh rằng dãy đã cho hội tụ và tính giới hạn.
  2. Chứng minh rằng
    \[n \le {x_1} + {x_2} + \ldots + {x_n} \le n + 1\quad\forall\,n\in\mathbb Z^+ .\]
Một cách tiếp cận ý 2.
Ta có hàm số $f(x)=\sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}$ nghịch biến và $x_1<x_2$ nên ta có dãy $$x_2<x_4<\cdots<x_{2n}<1<x_1<\cdots<x_{2n+1}.$$ Suy ra $$\begin{cases}x_{2n+1}+x_{2n+2}=x_{2n+1}+f(x_{2n+ 1})>x_1+f(x_1)>2\\ x_{2n+2}+x_{2n+3}=x_{2n+2}+f(x_{2n+2})<x_2+f(x_2)< 2 \end{cases}$$
Suy ra $$\begin{aligned} S_{2n}&=x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{2n}\\&=x_1+x_2+(x_3+ x_4)+\cdots+(x_{2n-1}+x_{2n})\\&>2+0+2+\cdots+2=2n \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} S_{2n}&=x_1+x_2+x_3+\cdots+x_{2n}\\&=x_1+(x_2+x_3) +\cdots+(x_{2n-2}+x_{2n-1})+x_{2n}\\&<2+2+2+\cdots+2+1=2n+1 \end{aligned}$$
Suy ra $2n<S_{2n}<2n+1$.\\ Chứng minh tương tuwjj ta cũng có $2n+1<S_{2n+1}<2n+2$. Từ đó ta có đpcm.
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]
 
nguyentatthu is offline   Trả Lời Với Trích Dẫn
The Following 2 Users Say Thank You to nguyentatthu For This Useful Post:
Le khanhsy (12-01-2018), zinxinh (12-01-2018)
 
[page compression: 8.95 k/10.05 k (10.93%)]