Trích:
Nguyên văn bởi Juliel  Bài 31 (Israel NMO 2011) Cho $a,b,c>0$. Chứng minh :
$$\dfrac{a^5}{b^5}+\dfrac{b^5}{c^5}+\dfrac{c^5}{a^ 5}\geq \dfrac{(a+1)^5}{(b+1)^5}+\dfrac{(b+1)^5}{(c+1)^5}+ \dfrac{(c+1)^5}{(a+1)^5}$$ |
Một bài khá hay
k mất tính tổng quát,ta giả sử $a \geq b \geq c$
Đặt $x=\frac{a^5}{b^5};y=\frac{b^5}{c^5};z=(\frac{a+1} {b+1})^5;t= (\frac{b+1}{c+1})^5$
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
$x+y+\frac{1}{xy} \geq z+t+\frac{1}{zt}$ với $x \geq z \geq 1$;$y \geq t \geq 1$
hay $xyzt(x-z+y-t) \geq xy-zt \Leftrightarrow xyzt(x-z+y-t) \geq x(y-t)+t(x-z)$ đúng do $x \geq z \geq 1$;$y \geq t \geq 1$
Vậy ta có đpcm,đẳng thức xảy ra khi a=b=c
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]